Зная уравнение движения тела: x(t)=2+2t-t^2 определите: начальную скорость, ускорение, составьте уравнение скорости, уравнение перемещения. Постройте график зависимости скорости движения тела от времени.
Зная уравнение движения тела: x(t)=2+2t-t^2 определите: начальную скорость, ускорение, составьте уравнение скорости, уравнение перемещения. Постройте график зависимости скорости движения тела от времени.
Для решения задачи рассмотрим уравнение движения тела ( x(t) = 2 + 2t - t^2 ), где ( x(t) ) — положение тела в момент времени ( t ).
Начальная скорость тела определяется как скорость в начальный момент времени ( t = 0 ). Скорость ( v(t) ) — это первая производная от функции положения ( x(t) ) по времени ( t ):
[ v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2 + 2t - t^2) = 2 - 2t ]
Подставим ( t = 0 ):
[ v(0) = 2 - 2 \cdot 0 = 2 ]
Таким образом, начальная скорость равна 2 единицам скорости (например, м/с).
Ускорение ( a(t) ) — это производная от скорости по времени, то есть вторая производная функции положения по времени:
[ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2 - 2t) = -2 ]
Ускорение является постоянным и равно (-2) единицам ускорения (например, м/с²).
Как уже было найдено:
[ v(t) = 2 - 2t ]
Перемещение ( s(t) ) от начального положения ( x(0) ) до положения в момент времени ( t ) можно выразить как разность:
[ s(t) = x(t) - x(0) ]
Начальное положение ( x(0) ):
[ x(0) = 2 + 2 \cdot 0 - 0^2 = 2 ]
Таким образом, уравнение перемещения:
[ s(t) = (2 + 2t - t^2) - 2 = 2t - t^2 ]
График зависимости скорости от времени ( v(t) = 2 - 2t ) представляет собой прямую линию с начальным значением скорости 2 и угловым коэффициентом (-2). Это указывает на постоянное отрицательное ускорение.
Для построения графика:
График будет линейным, наклоненным вниз, пересекающим ось времени в точке ( t = 1 ), где скорость становится нулевой, и далее переходит в отрицательные значения.
Этот анализ показывает, что тело начинает двигаться с положительной скоростью, замедляется до остановки и затем начинает двигаться в противоположном направлении.
Для определения начальной скорости необходимо найти производную функции x(t) по времени t.
x(t) = 2 + 2t - t^2 v(t) = dx/dt = 2 - 2t
Таким образом, начальная скорость равна 2 единицам.
Ускорение можно найти, взяв производную скорости по времени:
a(t) = dv/dt = -2
Уравнение скорости можно получить интегрированием ускорения по времени:
v(t) = -2t + C
C - постоянная интегрирования, которую можно найти из начальной скорости:
2 = -2*0 + C C = 2
Таким образом, уравнение скорости: v(t) = -2t + 2
Уравнение перемещения можно найти, интегрируя уравнение скорости по времени:
x(t) = -t^2 + 2t + C'
C' - постоянная интегрирования, которую можно найти из начального положения:
2 = -0^2 + 2*0 + C' C' = 2
Таким образом, уравнение перемещения: x(t) = -t^2 + 2t + 2
График зависимости скорости движения тела от времени будет представлять собой прямую линию с угловым коэффициентом -2 и пересечением с осью времени в точке 2.
Начальная скорость: 2 м/c Ускорение: -2 м/c^2 Уравнение скорости: v(t) = 2 - 2t Уравнение перемещения: x(t) = 2t + t^2 - (t^3)/3 + C, где C - постоянная интегрирования График зависимости скорости от времени: График скорости v(t) = 2 - 2t - это прямая линия, начинающаяся с точки (0,2) и с угловым коэффициентом -2.
