Закрытая с обоих концов труба, длина которой 1 м, заполнена воздухом при нормальном давлении. При какой...

Чтобы определить частоты, при которых в закрытой с обоих концов трубе будут возникать стоячие волны, нужно учитывать, что в таком случае труба будет иметь узлы давления на обоих концах. Это означает, что длина трубы будет равна целому числу полуволн.

Сначала определим, каковы условия для стоячих волн в закрытой трубе. Для трубы длиной ( L ) с закрытыми концами, длина волны ( \lambda ) может быть выражена через длину трубы следующим образом:

[ L = \frac{n \lambda}{2} ]

где ( n ) — это целое число, представляющее количество полуволн (для закрытой трубы ( n ) может быть только нечетным: 1, 3, 5 и так далее).

Из этого уравнения можно выразить длину волны:

[ \lambda = \frac{2L}{n} ]

Теперь, зная, что скорость звука ( v ) в воздухе составляет 340 м/с, можем использовать связь между скоростью звука, длиной волны и частотой:

[ v = f \lambda ]

где ( f ) — частота волны. Подставим выражение для длины волны в это уравнение:

[ v = f \left( \frac{2L}{n} \right) ]

Отсюда можно выразить частоту:

[ f = \frac{v n}{2L} ]

Теперь подставим значения:

• ( v = 340 \, \text{м/с} )
• ( L = 1 \, \text{м} )

Получим:

[ f = \frac{340 \, \text{м/с} \cdot n}{2 \cdot 1 \, \text{м}} = \frac{340n}{2} = 170n ]

Теперь найдем частоты для первых трех нечетных значений ( n ):

1. Для ( n = 1 ): [ f_1 = 170 \cdot 1 = 170 \, \text{Гц} ]

2. Для ( n = 3 ): [ f_2 = 170 \cdot 3 = 510 \, \text{Гц} ]

3. Для ( n = 5 ): [ f_3 = 170 \cdot 5 = 850 \, \text{Гц} ]

Таким образом, первые частоты, при которых будут возникать стоячие волны в закрытой трубе длиной 1 м, составляют:

• 170 Гц (первая гармоника)
• 510 Гц (вторая гармоника, третья полуволна)
• 850 Гц (третья гармоника, пятая полуволна)

Эти частоты будут следовать по нечетным числам и могут продолжаться дальше, например, для ( n = 7 ) частота будет 1190 Гц и так далее.

Для определения частот, при которых в закрытой с обоих концов трубе будут возникать стоячие волны, нам необходимо понять, как формируются такие волны в закрытом резонаторе.

Условия возникновения стоячих волн

В закрытой с обоих концов трубе стоячие волны формируются, когда звуковые волны интерферируют таким образом, что на концах возникают узлы давления (точки с минимальным изменением давления, где амплитуда колебаний давления равна нулю). Между узлами образуются пучности давления (максимальное изменение давления).

Поскольку оба конца трубы являются узлами давления, длина трубы ( L ) должна соответствовать целому числу половинных длин волн. Это условие записывается как:

[ L = n \cdot \frac{\lambda}{2}, ]

где:

• ( L ) — длина трубы,
• ( \lambda ) — длина волны,
• ( n ) — номер гармоники (натуральное число: ( n = 1, 2, 3, \dots )).

Таким образом, длина волны ( \lambda ) может быть выражена как:

[ \lambda = \frac{2L}{n}. ]

Частота стоячих волн

Частота звуковой волны связана с её длиной волны и скоростью звука следующим образом:

[ f = \frac{v}{\lambda}, ]

где:

• ( f ) — частота,
• ( v ) — скорость звука,
• ( \lambda ) — длина волны.

Подставляя выражение для ( \lambda ), получаем формулу для частоты:

[ f = \frac{n \cdot v}{2L}. ]

Подставим известные значения

Дано:

• ( L = 1 \, \text{м} ),
• ( v = 340 \, \text{м/с} ).

Подставляем в формулу:

[ f = \frac{n \cdot 340}{2 \cdot 1} = 170n \, \text{Гц}. ]

Результат

Частоты, на которых возникают стоячие волны в закрытой с обоих концов трубе, равны:

[ f_n = 170n \, \text{Гц}, \, n = 1, 2, 3, \dots ]

То есть:

• Для ( n = 1 ): ( f_1 = 170 \, \text{Гц} ),
• Для ( n = 2 ): ( f_2 = 340 \, \text{Гц} ),
• Для ( n = 3 ): ( f_3 = 510 \, \text{Гц} ), и так далее.

Эти частоты называются основной частотой (первая гармоника) и обертонами (вторая, третья и последующие гармоники).

Итог

В закрытой с обоих концов трубе длиной 1 м, заполненной воздухом при нормальном давлении, стоячие волны возникают на частотах, кратных 170 Гц: ( 170 \, \text{Гц}, 340 \, \text{Гц}, 510 \, \text{Гц}, \dots ).