За какую секунду от начала движения путь, пройденный телом при равноускоренном движении, втрое больше...

В равноускоренном движении с начальной скоростью равной нулю путь ( S_n ), пройденный телом за ( n )-ю секунду, можно выразить формулой:

[ S_n = \frac{a}{2} (2n - 1) ]

где ( a ) — ускорение. Путь, пройденный за первую секунду:

[ S_1 = \frac{a}{2} (2 \cdot 1 - 1) = \frac{a}{2} ]

Путь, пройденный за вторую секунду:

[ S_2 = \frac{a}{2} (2 \cdot 2 - 1) = \frac{3a}{2} ]

Чтобы путь за ( n )-ю секунду был втрое больше пути за предыдущую секунду, нужно решить уравнение:

[ Sn = 3S{n-1} ]

Подставив формулы, получим:

[ \frac{a}{2} (2n - 1) = 3 \cdot \frac{a}{2} (2(n-1) - 1) ]

Решив это уравнение, получим, что ( n = 2 ). Таким образом, ответ: за вторую секунду.

Рассмотрим задачу подробно.

Дано:

1. Начальная скорость тела (v_0 = 0).
2. Движение равноускоренное, то есть ускорение (a = \text{const}).
3. Нужно найти номер секунды (n), в течение которой пройденный телом путь втрое больше пути, пройденного в предыдущую секунду: [ Sn = 3S{n-1}. ]

Формулы:

1. Формула пути для равноускоренного движения с начальной скоростью (v_0 = 0): [ S = \frac{1}{2}a t^2, ] где (S) — путь, (a) — ускорение, (t) — время.

2. Путь, пройденный телом за (n)-ю секунду (например, за (1)-ю, (2)-ю, (3)-ю и так далее), определяется как разность общего пути (S(t)), пройденного за (n) секунд, и пути (S(t)), пройденного за ((n-1)) секунд: [ S_n = S(n) - S(n-1). ]

   Подставляя формулу пути (\frac{1}{2}a t^2), получаем: [ S_n = \frac{1}{2}a n^2 - \frac{1}{2}a (n-1)^2. ]

   Упростим выражение: [ S_n = \frac{1}{2}a \left( n^2 - (n-1)^2 \right). ]

   Раскроем скобки: [ S_n = \frac{1}{2}a \left( n^2 - (n^2 - 2n + 1) \right). ]

   Сокращая одинаковые члены: [ S_n = \frac{1}{2}a (2n - 1). ]

Таким образом, путь, пройденный телом за (n)-ю секунду, равен: [ S_n = \frac{1}{2}a (2n - 1). ]

Условие задачи:

По условию задачи, путь за (n)-ю секунду втрое больше пути за ((n-1))-ю секунду: [ Sn = 3S{n-1}. ]

Подставим выражение для (Sn) и (S{n-1}): [ \frac{1}{2}a (2n - 1) = 3 \cdot \frac{1}{2}a (2(n-1) - 1). ]

Сократим (\frac{1}{2}a) в обеих частях уравнения: [ 2n - 1 = 3 \cdot (2(n-1) - 1). ]

Раскроем скобки в правой части: [ 2n - 1 = 3 \cdot (2n - 2 - 1). ] [ 2n - 1 = 3 \cdot (2n - 3). ] [ 2n - 1 = 6n - 9. ]

Перенесём все члены, содержащие (n), в одну часть уравнения: [ 2n - 6n = -9 + 1. ] [ -4n = -8. ]

Разделим на (-4): [ n = 2. ]

Ответ:

Тело проходит путь, втрое больший, чем в предыдущую секунду, на второй секунде.

Рассмотрим тело, движущееся с начальной скоростью ( v_0 = 0 ) и постоянным ускорением ( a ). Путь, пройденный телом в течение ( t )-й секунды, можно выразить с помощью формулы:

[ S_t = v_0 t + \frac{1}{2} a (t^2 - (t-1)^2) ]

Так как начальная скорость ( v_0 ) равна нулю, формула упрощается:

[ S_t = \frac{1}{2} a (t^2 - (t-1)^2) = \frac{1}{2} a (t^2 - (t^2 - 2t + 1)) = \frac{1}{2} a (2t - 1) = a t - \frac{1}{2} a ]

Теперь найдем путь, пройденный телом за первую секунду (( S_1 )) и за вторую секунду (( S_2 )).

1. Путь за первую секунду (( S_1 )):

Для ( t = 1 ):

[ S_1 = a \cdot 1 - \frac{1}{2} a = \frac{1}{2} a ]

2. Путь за вторую секунду (( S_2 )):

Для ( t = 2 ):

[ S_2 = a \cdot 2 - \frac{1}{2} a = 2a - \frac{1}{2} a = \frac{3}{2} a ]

Теперь найдем путь, пройденный телом в предыдущую секунду, которая в нашем случае — первая секунда (( S_1 )). Условие задачи гласит, что путь, пройденный телом во второй секунде (( S_2 )), втрое больше пути за первую секунду (( S_1 )):

[ S_2 = 3 S_1 ]

Подставим найденные значения:

[ \frac{3}{2} a = 3 \cdot \left(\frac{1}{2} a\right) ]

Упрощаем правую часть:

[ \frac{3}{2} a = \frac{3}{2} a ]

Это равенство верно для любого значения ускорения ( a ). Таким образом, мы подтвердили, что путь, пройденный телом за вторую секунду, действительно втрое больше пути, пройденного в первую секунду, и произошло это именно за вторую секунду.

Таким образом, ответ на вопрос: тело пройдет путь, который втрое больше пути, пройденного в предыдущую секунду, за вторую секунду.