В сосуде объёмом V=1 л находится водород массой 2г.Определите давление водорода, если средняя квадратичная...

Для решения задачи воспользуемся уравнением для давления, выраженным через среднюю квадратичную скорость молекул газа:

[ P = \frac{1}{3} \cdot m0 \cdot n \cdot v{\text{ср.кв}}^2, ]

где:

• ( P ) — давление газа (то, что нужно найти);
• ( m_0 ) — масса одной молекулы водорода;
• ( n ) — число молекул в сосуде;
• ( v_{\text{ср.кв}} ) — средняя квадратичная скорость молекул газа (( 400 \, \text{м/с} )).

Шаг 1. Определим массу одной молекулы водорода ( m_0 )

Масса одной молекулы водорода связана с молярной массой. Для водорода молярная масса ( M ) равна ( 2 \, \text{г/моль} ) или ( 2 \cdot 10^{-3} \, \text{кг/моль} ). Масса одной молекулы выражается через число Авогадро (( N_A = 6.022 \cdot 10^{23} \, \text{моль}^{-1} )):

[ m_0 = \frac{M}{N_A} = \frac{2 \cdot 10^{-3}}{6.022 \cdot 10^{23}} \approx 3.32 \cdot 10^{-27} \, \text{кг}. ]

Шаг 2. Найдем число молекул водорода ( n )

Число молекул газа ( n ) связано с его массой ( m ) и массой одной молекулы ( m_0 ):

[ n = \frac{m}{m_0}. ]

Подставим значения: [ n = \frac{2 \cdot 10^{-3}}{3.32 \cdot 10^{-27}} \approx 6.02 \cdot 10^{23} \, \text{молекул}. ]

Шаг 3. Вычислим давление

Подставим значения в уравнение для давления: [ P = \frac{1}{3} \cdot m0 \cdot n \cdot v{\text{ср.кв}}^2. ]

Подставим ( m0 = 3.32 \cdot 10^{-27} \, \text{кг} ), ( n = 6.02 \cdot 10^{23} ), ( v{\text{ср.кв}} = 400 \, \text{м/с} ):

[ P = \frac{1}{3} \cdot (3.32 \cdot 10^{-27}) \cdot (6.02 \cdot 10^{23}) \cdot (400)^2. ]

Сначала вычислим произведение: [ m_0 \cdot n = (3.32 \cdot 10^{-27}) \cdot (6.02 \cdot 10^{23}) \approx 2 \cdot 10^{-3} \, \text{кг}. ]

Теперь подставим и умножим: [ P = \frac{1}{3} \cdot (2 \cdot 10^{-3}) \cdot (400)^2 = \frac{1}{3} \cdot (2 \cdot 10^{-3}) \cdot 160000. ]

Выполним вычисления: [ P = \frac{1}{3} \cdot 320 \approx 106.7 \, \text{Па}. ]

Ответ:

Давление водорода в сосуде равно ( P \approx 107 \, \text{Па} ).

Для определения давления водорода в сосуде можно воспользоваться уравнением состояния идеального газа и формулой для давления, основанной на средней квадратичной скорости молекул.

1. Определение количества вещества: Сначала найдем количество вещества водорода ( n ) в молях. Для этого используем формулу: [ n = \frac{m}{M} ] где:

   • ( m ) — масса водорода (2 г = 0.002 кг),
   • ( M ) — молярная масса водорода (H₂) составляет 2 г/моль = 0.002 кг/моль.

   Подставив значения: [ n = \frac{0.002 \, \text{кг}}{0.002 \, \text{кг/моль}} = 1 \, \text{моль} ]

2. Использование уравнения состояния идеального газа: Уравнение состояния идеального газа имеет вид: [ PV = nRT ] где:

   • ( P ) — давление газа,
   • ( V ) — объем сосуда (1 л = 0.001 м³),
   • ( n ) — количество вещества (1 моль),
   • ( R ) — универсальная газовая постоянная (( R \approx 8.31 \, \text{Дж/(моль·К)} )),
   • ( T ) — температура в Кельвинах.

3. Температура через среднюю квадратичную скорость: Средняя квадратичная скорость молекул ( v{ср.кв.} ) связана с температурой ( T ) следующим образом: [ v{ср.кв.} = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}} ] где:

   • ( k ) — постоянная Больцмана (( k \approx 1.38 \times 10^{-23} \, \text{Дж/K} )),
   • ( m_0 ) — масса одной молекулы водорода. Для водорода, молекула H₂ имеет массу примерно ( 2 \times 1.67 \times 10^{-27} \, \text{кг} ) (масса протона). [ m_0 \approx 3.34 \times 10^{-27} \, \text{кг} ]

   Так как: [ v_{ср.кв.} = 400 \, \text{м/с} ] можно выразить температуру: [ 400 = \sqrt{\frac{3 \cdot (1.38 \times 10^{-23}) \cdot T}{3.34 \times 10^{-27}}} ]

   Возведем обе стороны в квадрат: [ 400^2 = \frac{3 \cdot (1.38 \times 10^{-23}) \cdot T}{3.34 \times 10^{-27}} ] [ 160000 = \frac{4.14 \times 10^{-23} T}{3.34 \times 10^{-27}} ] [ T = \frac{160000 \cdot 3.34 \times 10^{-27}}{4.14 \times 10^{-23}} \approx 12.80 \text{K} ]

4. Определение давления: Подставим найденные значения в уравнение состояния: [ P \cdot 0.001 = 1 \cdot 8.31 \cdot 12.80 ] [ P \cdot 0.001 = 106.688 ] [ P = \frac{106.688}{0.001} = 106688 \, \text{Па} \approx 106.7 \, \text{кПа} ]

Таким образом, давление водорода в сосуде составляет примерно ( 106.7 \, \text{кПа} ).