В смесь состоящую из 5 кг воды и 3 кг льда , впустили 0,2 кг водяного пара при температуре 100°С. Сколько...

Для решения задачи нужно рассмотреть теплообмен между компонентами смеси и учесть, что в конечном итоге все они придут к тепловому равновесию.

Дано:

• Масса воды: ( m_{\text{вода}} = 5 \, \text{кг} ),
• Масса льда: ( m_{\text{лед}} = 3 \, \text{кг} ),
• Масса пара: ( m_{\text{пар}} = 0.2 \, \text{кг} ),
• Температура пара: ( t_{\text{пар}} = 100^\circ\text{С} ),
• Температура льда и воды: ( t_{\text{вода}} = 0^\circ\text{С} ).

Необходимые данные:

1. Удельная теплота парообразования воды: ( r = 2.3 \cdot 10^6 \, \text{Дж/кг} ),
2. Удельная теплота плавления льда: ( \lambda = 3.4 \cdot 10^5 \, \text{Дж/кг} ),
3. Удельная теплоёмкость воды: ( c_{\text{вода}} = 4.2 \cdot 10^3 \, \text{Дж/(кг·°С)} ),
4. Удельная теплоёмкость льда: ( c_{\text{лед}} = 2.1 \cdot 10^3 \, \text{Дж/(кг·°С)} ).

Цель:

Найти массу воды после установления теплового равновесия.

Решение:

1. Энергия, выделяемая паром при конденсации и охлаждении:

   • При конденсации пара получается вода при ( 100^\circ\text{С} ): [ Q{\text{конденсация}} = m{\text{пар}} \cdot r = 0.2 \cdot 2.3 \cdot 10^6 = 4.6 \cdot 10^5 \, \text{Дж}. ]
   • При охлаждении воды от ( 100^\circ\text{С} ) до ( 0^\circ\text{С} ): [ Q{\text{охлаждение}} = m{\text{пар}} \cdot c_{\text{вода}} \cdot \Delta t = 0.2 \cdot 4.2 \cdot 10^3 \cdot (100 - 0) = 8.4 \cdot 10^4 \, \text{Дж}. ]
   • Полная энергия от пара: [ Q{\text{пар}} = Q{\text{конденсация}} + Q_{\text{охлаждение}} = 4.6 \cdot 10^5 + 8.4 \cdot 10^4 = 5.44 \cdot 10^5 \, \text{Дж}. ]

2. Энергия, необходимая для плавления льда:

   • Чтобы растопить весь лед (( m{\text{лед}} = 3 \, \text{кг} )): [ Q{\text{плавление}} = m_{\text{лед}} \cdot \lambda = 3 \cdot 3.4 \cdot 10^5 = 1.02 \cdot 10^6 \, \text{Дж}. ]

3. Сравнение тепла от пара и потребностей льда:

   Энергия, выделяемая паром (( Q{\text{пар}} = 5.44 \cdot 10^5 \, \text{Дж} )), недостаточна для полного плавления льда (( Q{\text{плавление}} = 1.02 \cdot 10^6 \, \text{Дж} )).

   Это значит, что весь пар конденсируется и охлаждается, но льду не хватит энергии для полного перехода в жидкость.

4. Сколько льда растает?

   Количество льда, которое растает, можно найти из уравнения теплового баланса: [ Q{\text{пар}} = m{\text{растаявший лед}} \cdot \lambda. ] Отсюда: [ m{\text{растаявший лед}} = \frac{Q{\text{пар}}}{\lambda} = \frac{5.44 \cdot 10^5}{3.4 \cdot 10^5} \approx 1.6 \, \text{кг}. ]

5. Масса воды после теплового равновесия:

   Вода состоит из:

   • Изначальной воды: ( 5 \, \text{кг} ),
   • Растаявшего льда: ( 1.6 \, \text{кг} ),
   • Конденсировавшегося пара: ( 0.2 \, \text{кг} ).

   Итоговая масса воды: [ m_{\text{вода, итог}} = 5 + 1.6 + 0.2 = 6.8 \, \text{кг}. ]

6. Оставшийся лед:

   Лед, который не растаял: [ m_{\text{лед, остаток}} = 3 - 1.6 = 1.4 \, \text{кг}. ]

Ответ:

После установления теплового равновесия масса воды составит 6.8 кг, а масса оставшегося льда — 1.4 кг.

Чтобы решить задачу, нужно учитывать, что система состоит из воды, льда и водяного пара. Мы начнем с того, что найдем, сколько тепла будет передано от водяного пара к воде и льду, и как это скажется на состоянии этих веществ.

1. Исходные условия:

   • Масса воды ( m_w = 5 \, \text{кг} )
   • Масса льда ( m_i = 3 \, \text{кг} )
   • Масса водяного пара ( m_p = 0.2 \, \text{кг} )
   • Температура водяного пара ( T_p = 100 \, \text{°C} )

2. Критические точки:

   • Температура плавления льда: ( 0 \, \text{°C} )
   • Удельная теплота парообразования воды ( L_p = 2260 \, \text{kJ/kg} )
   • Удельная теплота плавления льда ( L_f = 334 \, \text{kJ/kg} )
   • Удельная теплоемкость воды ( c_w = 4.18 \, \text{kJ/(kg·°C)} )

3. Тепло, отдаваемое водяным паром при конденсации: Когда водяной пар конденсируется, он отдает тепло на уровне удельной теплоты парообразования: [ Q_{конденсации} = m_p \cdot L_p = 0.2 \, \text{кг} \cdot 2260 \, \text{kJ/kg} = 452 \, \text{kJ} ]

4. Тепло, необходимое для нагрева воды: Чтобы нагреть 5 кг воды от 100 °C до 0 °C, нам нужно отнять тепло: [ Q_{нагрева\,воды} = m_w \cdot c_w \cdot \Delta T = 5 \, \text{кг} \cdot 4.18 \, \text{kJ/(kg·°C)} \cdot (100 - 0) \, \text{°C} = 2090 \, \text{kJ} ]

   Это количество тепла, которое необходимо для охлаждения воды до 0 °C.

5. Тепло, необходимое для плавления льда: Для плавления 3 кг льда: [ Q_{плавления\,льда} = m_i \cdot L_f = 3 \, \text{кг} \cdot 334 \, \text{kJ/kg} = 1002 \, \text{kJ} ]

6. Сравнение тепла: Водяной пар отдает 452 кДж, в то время как для нагрева всей воды до 0 °C требуется 2090 кДж, а для плавления всего льда — 1002 кДж.

   Таким образом, часть тепла, отданного паром, не хватает для того, чтобы растопить весь лед и охладить всю воду.

7. Плавление льда: Мы можем использовать всю теплоту, полученную от конденсации пара, на плавление льда. Рассчитаем, сколько льда можно растопить на 452 кДж: [ m{плавл} = \frac{Q{конденсации}}{L_f} = \frac{452 \, \text{kJ}}{334 \, \text{kJ/kg}} \approx 1.35 \, \text{кг} ] Это значит, что 1.35 кг льда может быть растоплено.

8. Общее количество воды после установления теплового равновесия: Начальное количество воды: 5 кг + 1.35 кг = 6.35 кг. Оставшееся количество льда: [ 3 \, \text{кг} - 1.35 \, \text{кг} = 1.65 \, \text{кг} ]

   Таким образом, общее количество воды (вода + растопленный лед): [ 6.35 \, \text{кг} + 1.65 \, \text{кг} = 6.35 \, \text{кг} ]

Итак, после установления теплового равновесия в системе окажется 6.35 кг воды.