В колебательном контуре зависимость напряжения на обкладках конденсатора от времени представлена уравнением: U=10cos(210^3 πt). Емкость конденсатора 2.610^-8 Ф. Определите период электромагнитных колебаний, индуктивность контура, зависимость силы тока от времени, максимальную энергию электрического поля и магнитного поля в контуре.
Период электромагнитных колебаний можно определить по формуле T = 1/f, где f - частота колебаний, равная 210^3 Гц. Таким образом, период T = 1/(210^3) = 0.0005 с.
Индуктивность контура можно найти из уравнения колебаний в колебательном контуре: U = LdI/dt, где U - напряжение на конденсаторе, L - индуктивность контура, I - ток в контуре. Подставляя известные значения, получаем: 10 = L(-210^3 π10sin(210^3 πt)). Отсюда можно найти, что индуктивность контура равна L = 510^-4 Гн.
Зависимость силы тока от времени можно найти, используя закон Ома: I = U/R, где R - сопротивление контура. Подставляя значения напряжения и сопротивления (R = Xl + Xc, где Xl - индуктивное сопротивление, Xc - емкостное сопротивление), получаем зависимость силы тока от времени.
Максимальную энергию электрического поля в контуре можно найти по формуле W = 0.5CU^2, где C - емкость конденсатора, U - максимальное напряжение на конденсаторе. Подставляя известные значения, получаем максимальную энергию электрического поля.
Максимальную энергию магнитного поля в контуре можно найти по формуле W = 0.5LI^2, где L - индуктивность контура, I - максимальная сила тока в контуре. Подставляя значения, можно найти максимальную энергию магнитного поля.
Период электромагнитных колебаний: T = 1/f = 1/(210^3) = 510^-4 сек Индуктивность контура: L = 1/(4π^2f^2C) = 1/(4π^2(210^3)^22.610^-8) ≈ 4.810^-3 Гн Зависимость силы тока от времени: I = U/R = 10cos(210^3 πt)/R, где R - сопротивление контура Максимальная энергия электрического поля: W_el = (1/2)CU^2 = (1/2)2.610^-8(10)^2 = 1.310^-6 Дж Максимальная энергия магнитного поля: W_mag = (1/2)LI^2 = (1/2)4.810^-3*(I)^2, где I - максимальная сила тока
Давайте разберем задачу по шагам.
Уравнение напряжения на обкладках конденсатора:
( U(t) = 10\cos(2 \times 10^3 \pi t) )
Емкость конденсатора:
( C = 2.6 \times 10^{-8} \, \text{Ф} )
Уравнение для напряжения ( U(t) = U_0 \cos(\omega t) ) показывает, что угловая частота ( \omega = 2 \times 10^3 \pi ).
Период колебаний ( T ) связан с угловой частотой ( \omega ) следующим образом: [ T = \frac{2\pi}{\omega} ]
Подставим значение ( \omega ): [ T = \frac{2\pi}{2 \times 10^3 \pi} = \frac{1}{10^3} = 0.001 \, \text{с} ]
Формула для циклической частоты ( \omega ) в колебательном контуре: [ \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} ]
Выразим индуктивность ( L ): [ L = \frac{1}{\omega^2 C} ]
Подставим значения: [ L = \frac{1}{(2 \times 10^3 \pi)^2 \times 2.6 \times 10^{-8}} ]
Рассчитаем: [ L = \frac{1}{4 \times 10^6 \pi^2 \times 2.6 \times 10^{-8}} \approx \frac{1}{3.24 \times 10^{-1}} \approx 3.09 \times 10^{-3} \, \text{Гн} ]
Ток в контуре ( I(t) ) связан с напряжением как: [ I(t) = C \frac{dU}{dt} ]
Возьмем производную от ( U(t) ): [ \frac{dU}{dt} = -10 \times 2 \times 10^3 \pi \sin(2 \times 10^3 \pi t) ]
Следовательно, [ I(t) = 2.6 \times 10^{-8} \times (-20 \times 10^3 \pi) \sin(2 \times 10^3 \pi t) ]
[ I(t) = -5.2 \times 10^{-4} \pi \sin(2 \times 10^3 \pi t) ]
Максимальная энергия электрического поля ( W{\text{эл}} ) в конденсаторе: [ W{\text{эл}} = \frac{1}{2} C U_0^2 ]
Подставим значения: [ W_{\text{эл}} = \frac{1}{2} \times 2.6 \times 10^{-8} \times 10^2 ]
[ W_{\text{эл}} = 1.3 \times 10^{-6} \, \text{Дж} ]
Максимальная энергия магнитного поля ( W{\text{маг}} ) равна максимальной энергии электрического поля в контуре, поскольку в идеальном колебательном контуре без потерь энергия переходит полностью из одной формы в другую: [ W{\text{маг}} = W_{\text{эл}} = 1.3 \times 10^{-6} \, \text{Дж} ]
Таким образом, мы нашли период колебаний, индуктивность, зависимость силы тока от времени, и максимальные энергии электрического и магнитного поля в контуре.
