Угловая скорость вращающегося тела изменяется по закону: w=2t+3t^2 (рад/с). На какой угол повернется...

Чтобы найти угол, на который повернется тело, когда его угловая скорость изменяется по заданному закону, необходимо интегрировать угловую скорость по времени. Угловая скорость ( w(t) ) дана как функция времени:

[ w(t) = 2t + 3t^2 ]

Чтобы найти угол поворота ( \theta ) за интервал времени от ( t_1 = 1 ) с до ( t_2 = 3 ) с, интегрируем угловую скорость:

[ \theta = \int_{t_1}^{t2} w(t) \, dt = \int{1}^{3} (2t + 3t^2) \, dt ]

Выполним интегрирование:

1. Интеграл от ( 2t ) по ( t ) равен ( t^2 ).
2. Интеграл от ( 3t^2 ) по ( t ) равен ( t^3 ).

Таким образом, общий интеграл:

[ \int (2t + 3t^2) \, dt = \int 2t \, dt + \int 3t^2 \, dt = t^2 + t^3 ]

Теперь подставим пределы интегрирования от 1 до 3:

[ \theta = \left[ t^2 + t^3 \right]_{1}^{3} = \left(3^2 + 3^3\right) - \left(1^2 + 1^3\right) ]

Вычислим:

[ \theta = (9 + 27) - (1 + 1) = 36 - 2 = 34 ]

Таким образом, тело повернется на угол в 34 радиана за время от ( t_1 = 1 ) с до ( t_2 = 3 ) с.

Для определения угла поворота тела за заданный интервал времени необходимо проинтегрировать угловую скорость по времени.

Имеем уравнение для угловой скорости: w = 2t + 3t^2

Интегрируем уравнение угловой скорости по времени от t1 до t2:

∫(w)dt = ∫(2t + 3t^2)dt = t^2 + t^3 | от t1 до t2

Вычисляем значение интеграла для t2 и t1:

t2^2 + t2^3 - (t1^2 + t1^3) = 3^2 + 3^3 - (1^2 + 1^3) = 9 + 27 - 1 - 1 = 34 радиан.

Таким образом, тело повернется на 34 радиана за время от 1 до 3 секунд.

Для того чтобы найти угол поворота тела за время от t1=1 с до t2=3 с, нужно найти интеграл от угловой скорости по времени на заданном интервале времени.

Δθ = ∫(2t + 3t^2)dt от 1 до 3

Δθ = [t^2 + t^3] от 1 до 3

Δθ = (3^2 + 3^3) - (1^2 + 1^3)

Δθ = 9 + 27 - 1 - 1

Δθ = 34 рад

Тело повернется на 34 радиана за указанное время.