Свободное падающее тело без начальной скорости за последнею секунду прошло 1/4 часть пути, определите...

Для решения данной задачи воспользуемся уравнением движения свободно падающего тела: h = (1/2) g t^2, где h - высота падения тела, g - ускорение свободного падения (принимаем за 9,8 м/с^2), t - время падения тела.

Из условия задачи известно, что за последнюю секунду тело прошло 1/4 часть пути. Значит, за (t-1) секунду тело прошло 3/4 часть пути. Приравниваем это к уравнению движения: (1/2) g (t-1)^2 = (3/4) * h.

Также из условия задачи следует, что за время t тело прошло всю высоту h. Подставляем это в уравнение движения: (1/2) g t^2 = h.

Теперь можем решить систему из двух уравнений. После решения получим значение времени падения тела и высоту падения тела.

Для решения задачи о свободном падении тела с учетом, что за последнюю секунду оно прошло 1/4 часть всего пути, мы будем использовать уравнения равномерно ускоренного движения. Поскольку тело падает под действием силы тяжести, его ускорение ( g ) приблизительно равно ( 9.8 \, \text{м/с}^2 ).

Обозначим:

• ( h ) — общая высота падения,
• ( t ) — общее время падения,
• ( g ) — ускорение свободного падения, равное ( 9.8 \, \text{м/с}^2 ).

Уравнение для пути при равномерно ускоренном движении без начальной скорости:

[ h = \frac{1}{2} g t^2 ]

Согласно условию задачи, за последнюю секунду тело прошло ( \frac{1}{4} ) часть пути. То есть, если ( s ) — путь, пройденный за последнюю секунду, то:

[ s = h - h_1 = \frac{1}{4}h ]

где ( h_1 ) — высота, пройденная за ( t-1 ) секунд:

[ h_1 = \frac{1}{2} g (t-1)^2 ]

Таким образом, имеем:

[ h - \frac{1}{2} g (t-1)^2 = \frac{1}{4} h ]

Подставим выражение для ( h ):

[ \frac{1}{2} g t^2 - \frac{1}{2} g (t-1)^2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} g t^2 ]

Упростим выражение:

[ \frac{1}{2} g (t^2 - (t^2 - 2t + 1)) = \frac{1}{8} g t^2 ]

[ \frac{1}{2} g (2t - 1) = \frac{1}{8} g t^2 ]

Умножим всё на 8, чтобы избавиться от дробей:

[ 4g (2t - 1) = g t^2 ]

[ 8t - 4 = t^2 ]

Перенесём всё в одну сторону уравнения:

[ t^2 - 8t + 4 = 0 ]

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

[ D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 64 - 16 = 48 ]

[ t = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3} ]

Так как время не может быть отрицательным, берём положительное значение:

[ t = 4 + 2\sqrt{3} ]

Подставим значение времени в уравнение для высоты:

[ h = \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot (4 + 2\sqrt{3})^2 ]

[ h = 4.9 \cdot (16 + 16\sqrt{3} + 12) ]

[ h = 4.9 \cdot (28 + 16\sqrt{3}) ]

[ h = 137.2 + 78.4\sqrt{3} ]

Таким образом, время падения тела составляет ( 4 + 2\sqrt{3} ) секунды, а высота падения — примерно ( 137.2 + 78.4\sqrt{3} ) метров.