Стоящий на эскалаторе человек поднимается за t=2 мин., а бегущий по эскалатору за t=40 сек. За какое...

Для решения этой задачи нам нужно понять, как изменится скорость человека на эскалаторе в зависимости от того, идет ли он или стоит на месте.

Пусть скорость эскалатора v, скорость человека при беге по эскалатору v_бег, скорость человека при стоянии на эскалаторе v_стояние.

Тогда при беге по эскалатору скорость человека будет равна v_бег = v + v_стояние, а при стоянии на месте - v_стояние = v.

Известно, что при беге по эскалатору человек поднимается за 40 секунд, т.е. v_бег t = h (где h - высота подъема). А при стоянии на месте - v_стояние t = h.

Таким образом, у нас два уравнения:

1. (v + v) * 40 = h
2. v * t = h

Следовательно v = h / t, v = h / 40

Подставляем v во второе уравнение: h / 40 * t = h

Отсюда t = 40.

Таким образом, человек поднимется по неподвижному эскалатору за 40 секунд.

Для решения задачи необходимо определить скорости движения человека и эскалатора.

Обозначим:

• ( v_ч ) — скорость движения человека по эскалатору,
• ( v_э ) — скорость движения эскалатора,
• ( L ) — длина эскалатора.

Из условия известно, что стоящий на эскалаторе человек поднимается за ( t_1 = 2 ) минуты (( 120 ) секунд), а бегущий по эскалатору — за ( t_2 = 40 ) секунд.

1. Определение скоростей

Когда человек стоит на эскалаторе:

[ L = v_э \cdot t_1 ]

Отсюда:

[ v_э = \frac{L}{t_1} ]

Когда человек бежит по эскалатору:

[ L = (v_ч + v_э) \cdot t_2 ]

Отсюда:

[ v_ч + v_э = \frac{L}{t_2} ]

2. Выразим скорость человека ( v_ч )

Подставляя выражение для ( v_э ) в уравнение для бегущего человека, получим:

[ v_ч + \frac{L}{t_1} = \frac{L}{t_2} ]

[ v_ч = \frac{L}{t_2} - \frac{L}{t_1} ]

[ v_ч = L \left( \frac{1}{t_2} - \frac{1}{t_1} \right) ]

3. Найдем время ( t ) для неподвижного эскалатора

Когда эскалатор неподвижен, человек проходит расстояние ( L ) со скоростью ( v_ч ):

[ L = v_ч \cdot t ]

Подставляя выражение для ( v_ч ):

[ L = L \left( \frac{1}{t_2} - \frac{1}{t_1} \right) \cdot t ]

Сокращаем на ( L ):

[ 1 = \left( \frac{1}{t_2} - \frac{1}{t_1} \right) \cdot t ]

Решаем уравнение для ( t ):

[ t = \frac{1}{\frac{1}{t_2} - \frac{1}{t_1}} ]

Подставляем значения ( t_1 = 120 ) секунд и ( t_2 = 40 ) секунд:

[ t = \frac{1}{\frac{1}{40} - \frac{1}{120}} ]

[ t = \frac{1}{\frac{3 - 1}{120}} ]

[ t = \frac{120}{2} = 60 \text{ секунд} ]

Итак, человек поднимется по неподвижному эскалатору за ( 60 ) секунд.