Стальной осколок, падая с высоты 470 м, нагрелся на 0,5 °С в результате совершения работы сил сопротивления...

Для решения этой задачи нужно учесть, что часть потенциальной энергии стального осколка при падении преобразуется в тепловую энергию из-за сопротивления воздуха, а оставшаяся часть преобразуется в кинетическую энергию.

1. Определим потенциальную энергию осколка на высоте 470 м. Если масса осколка равна ( m ), то его потенциальная энергия будет:

   [ E_{\text{пот}} = m \cdot g \cdot h ]

   где:

   • ( g = 9.81 \, \text{м/с}^2 ) — ускорение свободного падения,
   • ( h = 470 \, \text{м} ).

2. Определим количество теплоты, которую получил осколок при нагреве. Количество теплоты ( Q ) можно определить по формуле:

   [ Q = m \cdot c \cdot \Delta T ]

   где:

   • ( c \approx 460 \, \text{Дж/(кг} \cdot \text{°С)} ) — удельная теплоёмкость стали,
   • ( \Delta T = 0.5 \, \text{°С} ) — изменение температуры.

3. Энергетический баланс. Согласно закону сохранения энергии, начальная потенциальная энергия равна сумме кинетической энергии и тепловой энергии в конце падения:

   [ m \cdot g \cdot h = \frac{m \cdot v^2}{2} + m \cdot c \cdot \Delta T ]

   где:

   • ( v ) — скорость осколка у поверхности Земли.

4. Упростим уравнение. Так как масса ( m ) присутствует во всех членах уравнения, её можно сократить:

   [ g \cdot h = \frac{v^2}{2} + c \cdot \Delta T ]

5. Решим уравнение относительно скорости ( v ):

   [ v^2 = 2 \cdot (g \cdot h - c \cdot \Delta T) ]

   [ v = \sqrt{2 \cdot (g \cdot h - c \cdot \Delta T)} ]

6. Подставим известные значения:

   [ v = \sqrt{2 \cdot (9.81 \cdot 470 - 460 \cdot 0.5)} ]

   [ v = \sqrt{2 \cdot (4607.7 - 230)} ]

   [ v = \sqrt{2 \cdot 4377.7} ]

   [ v = \sqrt{8755.4} ]

   [ v \approx 93.55 \, \text{м/с} ]

Таким образом, скорость стального осколка у поверхности Земли составляет приблизительно 93.55 м/с.

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться законом сохранения энергии. Пусть (m) - масса осколка, (h) - высота падения, (v) - скорость осколка у поверхности Земли, (v0) - начальная скорость осколка (равна 0), (T) - кинетическая энергия осколка у поверхности Земли, (U) - потенциальная энергия осколка на высоте 470 м, (Q) - работа силы сопротивления воздуха, (Q{\text{пот}}) - работа силы сопротивления воздуха, совершенная за счет изменения потенциальной энергии осколка.

Согласно закону сохранения энергии: [T + U = T_0 + U0 + Q{\text{пот}}] [m \cdot \frac{v^2}{2} + m \cdot g \cdot h = 0 + 0 + Q{\text{пот}}] [m \cdot \frac{v^2}{2} + m \cdot g \cdot h = Q{\text{пот}}] [m \cdot \frac{v^2}{2} + m \cdot g \cdot h = F \cdot s] [m \cdot \frac{v^2}{2} = F \cdot s - m \cdot g \cdot h]

Так как сила сопротивления воздуха равна: [F = -k \cdot v]

Тогда: [m \cdot \frac{v^2}{2} = -k \cdot v \cdot s - m \cdot g \cdot h] [m \cdot \frac{v^2}{2} + k \cdot v \cdot s = -m \cdot g \cdot h] [m \cdot \frac{v^2}{2} + k \cdot v \cdot s = -m \cdot g \cdot h] [m \cdot v^2 + 2 \cdot k \cdot v \cdot s = -2 \cdot m \cdot g \cdot h] [v^2 + \frac{2 \cdot k \cdot s}{m} \cdot v = -2 \cdot g \cdot h]

Теперь подставим данные из условия: (h = 470 \, \text{м}), (T = 0.5 \, \text{°C} = 0.5 \, \text{K}), (m = 1 \, \text{кг}), (g = 9.8 \, \text{м/с}^2).

Известно, что для стали (k = 0.5 \, \text{Вт/м}^2).

[v^2 + \frac{2 \cdot 0.5 \cdot 470}{1} \cdot v = -2 \cdot 9.8 \cdot 470] [v^2 + 470 \cdot v = -2 \cdot 9.8 \cdot 470] [v^2 + 470 \cdot v + 2 \cdot 9.8 \cdot 470 = 0]

Решив квадратное уравнение, найдем скорость осколка у поверхности Земли.