Смещение груза пружинного маятника меняется с течением времени по закону x = A·sin(2π·t/T), где период T = 1 с. Через какое минимальное время, начиная с момента t = 0, потенциальная энергия маятника достигнет половины своего максимума? 1) 1с 2) 0,5 с 3) 0,25 с 4) 0,125 с Объясните, пожалуйста.
Для того чтобы найти момент, когда потенциальная энергия маятника достигнет половины своего максимума, нам нужно найти значение смещения x в этот момент времени. Половина максимальной потенциальной энергии соответствует значению x равному A/2.
Из уравнения x = A·sin(2π·t/T) видно, что при t = 0 смещение равно нулю, поэтому мы ищем момент времени, когда смещение станет равным A/2.
A/2 = A·sin(2π·t/T) 1/2 = sin(2π·t) t = 0,25 с
Таким образом, минимальное время, через которое потенциальная энергия маятника достигнет половины своего максимума, равно 0,25 с. Ответ: 3) 0,25 с.
Для пружинного маятника потенциальная энергия ( U ) связана с смещением ( x ) по формуле:
[ U = \frac{1}{2}k x^2, ]
где ( k ) — жесткость пружины. Максимальная потенциальная энергия ( U_{\text{max}} ) достигается, когда ( x = A ), и равна:
[ U_{\text{max}} = \frac{1}{2}k A^2. ]
Нам нужно найти момент времени, когда потенциальная энергия достигнет половины своего максимума:
[ U = \frac{1}{2} U_{\text{max}} = \frac{1}{4}k A^2. ]
Подставим выражение для ( U ):
[ \frac{1}{2}k x^2 = \frac{1}{4}k A^2. ]
Упростим это уравнение:
[ x^2 = \frac{1}{2}A^2. ]
Отсюда:
[ x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}. ]
Теперь найдем время, когда ( x = \frac{A}{\sqrt{2}} ) (положительное значение, так как начинаем с ( t = 0 )):
[ A \sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right) = \frac{A}{\sqrt{2}}. ]
Сократим на ( A ):
[ \sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}. ]
Значение ( \sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}} ) соответствует углу ( \theta = \frac{\pi}{4} ) (и дополнительно ( \theta = \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \ldots ) для полного цикла синуса). Рассмотрим первое соответствие:
[ \frac{2\pi t}{T} = \frac{\pi}{4}. ]
Подставим ( T = 1 ) с:
[ 2\pi t = \frac{\pi}{4}. ]
Решим это уравнение для ( t ):
[ t = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{2\pi} = \frac{1}{8}. ]
Таким образом, минимальное время, через которое потенциальная энергия маятника достигнет половины своего максимума, составляет ( t = 0.125 ) с. Поэтому правильный ответ — 4) 0,125 с.
