С вершины наклонной плоскости, имеющей длину 10 м и высоту 5 м, начинает двигаться без начальной скорости тело. Какое время будет продолжаться движение до основания наклонной плоскости? Какую скорость будет иметь тело в конце спуска? Коэффициент трения между телом и плоскостью 0,2. Желательно с вложенным рисунком.
Для решения данной задачи нам необходимо использовать законы механики, а именно закон сохранения энергии и закон Ньютона.
Посмотрим на рисунок:
/|
/ | 5м
/ |
10м /
\/
Из закона сохранения энергии можем записать:
[ mgh = \frac{1}{2}mv^2 + mgh', ]
где (m) - масса тела, (g) - ускорение свободного падения, (h) - высота начальной точки, (v) - скорость тела в конце спуска, (h') - высота конечной точки.
Также, из закона Ньютона для тела на наклонной плоскости:
[ f_{трения} = mgsin(\alpha), ]
где (f_{трения}) - сила трения, (m) - масса тела, (g) - ускорение свободного падения, (\alpha) - угол наклона плоскости.
Из геометрии треугольника видим, что (\alpha = arctg(\frac{5}{10}) = arctg(0.5) \approx 26.57^\circ).
Теперь можем найти силу трения:
[ f_{трения} = 0.2mgcos(26.57^\circ), ]
где 0.2 - коэффициент трения.
Таким образом, у нас есть два уравнения и две неизвестные величины - время движения и скорость тела в конце спуска. Решая систему уравнений, мы можем найти ответы на поставленные вопросы.
Для решения данной задачи мы можем использовать основные законы механики и учесть влияние силы трения.
Расчёт времени движения:
Сначала найдем угол наклона плоскости (\alpha). Из прямоугольного треугольника, где гипотенуза – это длина наклонной плоскости (10 м), а противолежащий катет – это высота (5 м), угол (\alpha) можно найти из соотношения: [ \sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{5}{10} = 0.5 ] Отсюда (\alpha \approx 30^\circ).
Рассчитаем ускорение тела. Сила тяжести (mg) разложена на две составляющие: (mg \sin \alpha) (направлена вдоль наклонной плоскости вниз) и (mg \cos \alpha) (направлена перпендикулярно плоскости). Сила трения (f) определяется как (f = \mu N), где (\mu = 0.2) – коэффициент трения, (N = mg \cos \alpha) – нормальная реакция опоры. Тогда: [ f = \mu mg \cos \alpha = 0.2 \cdot mg \cdot \cos(30^\circ) = 0.2 \cdot mg \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ] Эффективная сила, ускоряющая тело вниз по наклонной плоскости, будет: [ F = mg \sin \alpha - f = mg \cdot 0.5 - 0.2 mg \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ] Ускорение тела (a) тогда равно: [ a = \frac{F}{m} = g \left(0.5 - 0.1 \sqrt{3}\right) ] Подставляя (g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2): [ a \approx 9.8 \cdot (0.5 - 0.1 \cdot 1.732) \approx 9.8 \cdot 0.3268 \approx 3.2 \, \text{м/с}^2 ]
Время спуска (t) по наклонной плоскости можно найти из формулы для равноускоренного движения без начальной скорости: [ s = \frac{1}{2}at^2 ] где (s = 10) м – длина наклонной плоскости. Отсюда: [ t = \sqrt{\frac{2s}{a}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 10}{3.2}} \approx \sqrt{6.25} \approx 2.5 \, \text{сек} ]
Расчёт конечной скорости:
Конечная скорость (v) на основании плоскости может быть найдена по формуле: [ v = at = 3.2 \cdot 2.5 \approx 8 \, \text{м/с} ]
К сожалению, в данном текстовом интерфейсе нет возможности вставить рисунок, но вы можете легко визуализировать рассмотренные силы и углы на листе бумаги, отметив направления силы тяжести, нормальной реакции, силы трения и составляющих силы тяжести вдоль и перпендикулярно наклонной плоскости.
