Решите задачу: В банке находится 1л горячей воды при температуре 80°С. Какой станет температура воды,...

Для решения задачи рассмотрим процесс теплового взаимодействия горячей воды и льда. Основной принцип при этом — закон сохранения энергии. Тепло, отданное горячей водой, пойдет на плавление льда и нагрев растаявшей воды до некоторой конечной температуры ( T ).

Дано:

• Объем воды: ( V_{\text{воды}} = 1 \, \text{л} = 0.001 \, \text{м}^3 );
• Плотность воды: ( \rho{\text{воды}} = 1000 \, \text{кг/м}^3 ) ( \Rightarrow m{\text{воды}} = \rho{\text{воды}} \cdot V{\text{воды}} = 1 \, \text{кг} );
• Температура воды: ( T_{\text{воды}} = 80^\circ \text{C} );
• Масса льда: ( m_{\text{льда}} = 100 \, \text{г} = 0.1 \, \text{кг} );
• Температура льда: ( T_{\text{льда}} = 0^\circ \text{C} );
• Удельная теплоемкость воды: ( c_{\text{воды}} = 4200 \, \text{Дж/(кг·°С)} );
• Удельная теплоемкость льда: ( c_{\text{льда}} = 2100 \, \text{Дж/(кг·°С)} ).

Пусть удельная теплота плавления льда равна ( \lambda \, \text{Дж/кг} ), и требуется найти конечную температуру ( T ) системы.

Решение:

Тепло, отданное горячей водой (если ( T ) — конечная температура): [ Q{\text{воды}} = m{\text{воды}} \cdot c{\text{воды}} \cdot (T{\text{воды}} - T). ]

Тепло, необходимое для полного плавления льда: [ Q{\text{плавления}} = m{\text{льда}} \cdot \lambda. ]

Тепло, необходимое для нагрева растаявшего льда (вода) до конечной температуры ( T ): [ Q{\text{нагрев}} = m{\text{льда}} \cdot c{\text{воды}} \cdot (T - T{\text{льда}}). ]

Так как вода отдает тепло, а лед и растаявшая вода поглощают его, по закону сохранения энергии имеем: [ Q{\text{воды}} = Q{\text{плавления}} + Q_{\text{нагрев}}. ]

Подставим выражения для ( Q{\text{воды}}, Q{\text{плавления}}, Q{\text{нагрев}} ): [ m{\text{воды}} \cdot c{\text{воды}} \cdot (T{\text{воды}} - T) = m{\text{льда}} \cdot \lambda + m{\text{льда}} \cdot c{\text{воды}} \cdot (T - T{\text{льда}}). ]

Подставим все известные значения: [ 1 \cdot 4200 \cdot (80 - T) = 0.1 \cdot \lambda + 0.1 \cdot 4200 \cdot (T - 0). ]

Упростим уравнение: [ 4200 \cdot (80 - T) = 0.1 \cdot \lambda + 420 \cdot T. ]

Раскроем скобки: [ 336000 - 4200T = 0.1 \cdot \lambda + 420T. ]

Сгруппируем члены с ( T ): [ 336000 = 0.1 \cdot \lambda + 4620T. ]

Выразим ( \lambda ): [ 0.1 \cdot \lambda = 336000 - 4620T. ]

[ \lambda = \frac{336000 - 4620T}{0.1}. ]

Чтобы решить задачу до конца, нужно знать конечную температуру ( T ). В данной задаче конечная температура может быть найдена экспериментально или путем проверки условий задачи. Если ( T ) меньше ( 0^\circ \text{C} ), лед не полностью растает. Если ( T \geq 0^\circ \text{C} ), лед полностью растает, и можно использовать вышеуказанное уравнение.

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии. Система, состоящая из горячей воды и льда, будет обмениваться теплом до тех пор, пока не достигнет равновесной температуры. Важно учитывать, что часть тепла, выделившегося от горячей воды, пойдёт на плавление льда, а затем на нагрев образовавшейся воды от льда.

1. Исходные данные:

   • Объем горячей воды: ( V = 1 \, \text{л} = 0.001 \, \text{м}^3 )
   • Температура горячей воды: ( T_1 = 80 \, °C )
   • Масса горячей воды: ( m_1 = \rho \cdot V = 1000 \, \text{кг/m}^3 \cdot 0.001 \, \text{м}^3 = 1 \, \text{кг} )
   • Температура льда: ( T_2 = 0 \, °C )
   • Масса льда: ( m_2 = 100 \, \text{г} = 0.1 \, \text{кг} )

2. Удельная теплота плавления льда: Удельная теплота плавления льда составляет ( L_f = 334000 \, \text{Дж/кг} ).

3. Энергия, отдаваемая горячей водой: Если конечная температура системы равна ( T_f ), то энергия, отдаваемая горячей водой, будет: [ Q_1 = m1 c{w} (T_1 - T_f) = 1 \, \text{кг} \cdot 4200 \, \text{Дж/(кг \cdot °C)} \cdot (80 - T_f) ]

4. Энергия, поглощаемая льдом: Лед сначала плавится, а затем нагревается до конечной температуры. Энергия, поглощаемая льдом, будет: [ Q_2 = m_2 L_f + m2 c{w} (T_f - T_2) = 0.1 \, \text{кг} \cdot 334000 \, \text{Дж/кг} + 0.1 \, \text{кг} \cdot 4200 \, \text{Дж/(кг \cdot °C)} (T_f - 0) ] [ Q_2 = 33400 \, \text{Дж} + 420 \, \text{Дж/°C} \cdot T_f ]

5. Уравнение теплового баланса: По закону сохранения энергии: [ Q_1 = Q_2 ] Подставим выражения для ( Q_1 ) и ( Q_2 ): [ 4200 (80 - T_f) = 33400 + 420 T_f ]

6. Решим уравнение: Раскроем скобки: [ 336000 - 4200 T_f = 33400 + 420 T_f ] Переносим все термины с ( T_f ) на одну сторону, а остальные на другую: [ 336000 - 33400 = 4200 T_f + 420 T_f ] [ 302600 = 4620 T_f ] [ T_f = \frac{302600}{4620} \approx 65.5 \, °C ]

Таким образом, конечная температура воды после добавления льда составит примерно ( 65.5 \, °C ).