Рассчитайте первую космическую скорость на высоте трех земных радиусов над поверхностью земли. На поверхности...

Первая космическая скорость - это минимальная скорость, которую необходимо иметь у космического аппарата, чтобы он мог покинуть земную атмосферу и уйти на орбиту. Для расчета первой космической скорости на высоте трех земных радиусов над поверхностью Земли, используем закон сохранения энергии.

На поверхности Земли ускорение свободного падения равно 10 м/с², радиус Земли 6400 км (или 6400000 м).

Потенциальная энергия на высоте h над поверхностью Земли: P = mgh, где m - масса космического аппарата, g - ускорение свободного падения, h - высота над поверхностью Земли.

Кинетическая энергия космического аппарата на высоте h: К = 1/2 * mv², где v - скорость космического аппарата на высоте h.

На высоте трех земных радиусов над поверхностью Земли потенциальная энергия равна кинетической энергии: mgh = 1/2 * mv².

Так как m сокращается, остается: gh = 1/2 * v².

Подставляем значения: 10 3 6400000 = 1/2 v², 19200000 = 1/2 v², 38400000 = v², v ≈ 6190 м/с.

Таким образом, первая космическая скорость на высоте трех земных радиусов над поверхностью Земли составляет примерно 6190 м/с.

Первая космическая скорость — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить объекту, чтобы он мог перейти на круговую орбиту вокруг планеты, не используя дополнительной тяги. На поверхности Земли эта скорость составляет примерно 7,9 км/с.

Для расчета первой космической скорости на высоте трех земных радиусов над поверхностью Земли, необходимо учитывать изменение силы тяжести на этой высоте и использовать формулу для первой космической скорости:

[ v_1 = \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}, ]

где:

• ( v_1 ) — первая космическая скорость,
• ( G ) — гравитационная постоянная ((6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2)),
• ( M ) — масса Земли ((5.972 \times 10^{24} \, \text{кг})),
• ( r ) — расстояние от центра Земли до объекта.

На высоте трех радиусов над поверхностью Земли расстояние от центра Земли до объекта будет равно:

[ r = R{\text{Земли}} + 3 \cdot R{\text{Земли}} = 4 \cdot R_{\text{Земли}}, ]

где ( R_{\text{Земли}} = 6400 \, \text{км} = 6.4 \times 10^6 \, \text{м} ).

Теперь подставим это значение в формулу:

[ r = 4 \cdot 6.4 \times 10^6 \, \text{м} = 25.6 \times 10^6 \, \text{м}. ]

Теперь рассчитаем первую космическую скорость:

[ v_1 = \sqrt{\frac{6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2 \times 5.972 \times 10^{24} \, \text{кг}}{25.6 \times 10^6 \, \text{м}}}. ]

Сначала произведем умножение в числителе:

[ G \cdot M = 6.674 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24} = 3.986 \times 10^{14} \, \text{м}^3/\text{с}^2. ]

Теперь подставим это значение в формулу для ( v_1 ):

[ v_1 = \sqrt{\frac{3.986 \times 10^{14}}{25.6 \times 10^6}}. ]

Выполним деление:

[ \frac{3.986 \times 10^{14}}{25.6 \times 10^6} = 1.557 \times 10^{7}. ]

И, наконец, извлечем квадратный корень:

[ v_1 = \sqrt{1.557 \times 10^{7}} \approx 3945 \, \text{м/с}. ]

Таким образом, первая космическая скорость на высоте трех земных радиусов над поверхностью Земли составляет примерно 3945 м/с.