Пружинный маятник совершил за некоторое время 16 колебаний. Когда массу груза увеличили на 200 г, маятник...

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой периода колебаний пружинного маятника: T = 2π√(m/k), где T - период колебаний, m - масса груза, k - коэффициент жесткости пружины.

Из условия задачи у нас есть два уравнения: 1) T = 2π√(m/k) = 16; 2) T = 2π√((m+0.2)/k) = 15.

Из первого уравнения получаем: 2π√(m/k) = 16; √(m/k) = 8/π; m/k = (8/π)^2; m/k = 64/π^2.

Из второго уравнения получаем: 2π√((m+0.2)/k) = 15; √((m+0.2)/k) = 15/2π; (m+0.2)/k = (15/2π)^2; (m+0.2)/k = 225/4π^2.

Из этих двух уравнений можно составить систему уравнений и решить ее. После решения системы уравнений получим, что начальная масса груза равна 0.8 кг.

Чтобы решить эту задачу, необходимо использовать формулы, связанные с периодом колебаний пружинного маятника. Период колебаний пружинного маятника определяется формулой:

[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} ]

где ( T ) — период колебаний, ( m ) — масса груза, ( k ) — жесткость пружины.

Дано, что за одно и то же время ( t ) маятник совершил сначала 16 колебаний, а затем 15 колебаний при увеличении массы на 200 г. Это значит, что:

[ t = 16T_1 = 15T_2 ]

где ( T_1 ) — период колебаний с начальной массой ( m_1 ), а ( T_2 ) — после увеличения массы на 200 г, то есть с массой ( m_2 = m_1 + 0.2 ) кг (переведено в килограммы).

Из этих уравнений мы можем выразить ( T_1 ) и ( T_2 ):

[ T_1 = \frac{t}{16} ] [ T_2 = \frac{t}{15} ]

Используя формулу периода, получаем:

[ \frac{t}{16} = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}} ] [ \frac{t}{15} = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 + 0.2}{k}} ]

Теперь выразим ( \sqrt{\frac{m_1}{k}} ) и ( \sqrt{\frac{m_1 + 0.2}{k}} ):

[ \sqrt{\frac{m_1}{k}} = \frac{t}{32\pi} ] [ \sqrt{\frac{m_1 + 0.2}{k}} = \frac{t}{30\pi} ]

Возведем обе части уравнений в квадрат:

[ \frac{m_1}{k} = \left(\frac{t}{32\pi}\right)^2 ] [ \frac{m_1 + 0.2}{k} = \left(\frac{t}{30\pi}\right)^2 ]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. ( \frac{m_1}{k} = \frac{t^2}{1024\pi^2} )
2. ( \frac{m_1 + 0.2}{k} = \frac{t^2}{900\pi^2} )

Вычтем из второго уравнения первое:

[ \frac{m_1 + 0.2}{k} - \frac{m_1}{k} = \frac{t^2}{900\pi^2} - \frac{t^2}{1024\pi^2} ]

Упростим левую часть:

[ \frac{0.2}{k} = \frac{t^2}{900\pi^2} - \frac{t^2}{1024\pi^2} ]

Теперь найдём общий знаменатель и упростим правую часть:

[ \frac{0.2}{k} = \frac{1024t^2 - 900t^2}{900 \times 1024 \pi^2} ] [ \frac{0.2}{k} = \frac{124t^2}{900 \times 1024 \pi^2} ]

Теперь выразим ( k ):

[ k = \frac{0.2 \times 900 \times 1024 \pi^2}{124t^2} ]

Подставим значение ( k ) в первое уравнение:

[ \frac{m_1}{k} = \frac{t^2}{1024\pi^2} ] [ m_1 = \frac{t^2}{1024\pi^2} \times \frac{0.2 \times 900 \times 1024 \pi^2}{124t^2} ] [ m_1 = \frac{0.2 \times 900}{124} ]

Теперь вычислим ( m_1 ):

[ m_1 = \frac{180}{124} ]

Приблизительно:

[ m_1 \approx 1.452 \, \text{кг} ]

Таким образом, начальная масса груза составляет примерно 1.452 кг.

Начальная масса груза была 800 грамм.