Пройдя ускоряющую разность потенциалов U=2000В, электрон влетает в однородное магнитное поле с индукцией...

Для решения данной задачи начнем с анализа движения электрона в электрическом и магнитном полях.

1. Энергия электрона после ускорения: Электрон, проходя через разность потенциалов ( U ), приобретает кинетическую энергию, равную работе, совершенной электрическим полем. Эта энергия можно выразить как: [ K = eU ] где ( e ) — заряд электрона (примерно ( 1.6 \times 10^{-19} ) Кл), ( U ) — разность потенциалов (в данном случае ( 2000 ) В). Таким образом, кинетическая энергия электрона равна: [ K = e \cdot 2000 \text{ В} ]

2. Кинетическая энергия и скорость: Кинетическая энергия также может быть выражена через массу электрона ( m ) и его скорость ( v ): [ K = \frac{mv^2}{2} ] Приравняем обе формулы для кинетической энергии: [ e \cdot 2000 = \frac{mv^2}{2} ] Из этого уравнения выразим скорость ( v ): [ v^2 = \frac{2e \cdot 2000}{m} ]

3. Движение в магнитном поле: Когда электрон попадает в однородное магнитное поле с индукцией ( B ), он начинает двигаться по окружности радиуса ( R ). Центростремительное ускорение, возникающее при движении по окружности, связано с силой Лоренца: [ F = e v B ] Эта сила равна центростремительной силе, действующей на электрон: [ F = \frac{mv^2}{R} ] Приравняем эти два выражения для силы: [ e v B = \frac{mv^2}{R} ]

4. Сокращаем и выражаем ( \frac{e}{m} ): Поделим обе стороны уравнения на ( v ) (при этом ( v \neq 0 )): [ e B = \frac{mv}{R} ] Теперь выразим отношение ( \frac{e}{m} ): [ \frac{e}{m} = \frac{v}{RB} ]

5. Заменим скорость ( v ): Теперь подставим выражение для ( v ), полученное из кинетической энергии: [ v = \sqrt{\frac{2e \cdot 2000}{m}} ] Подставим это значение в уравнение для ( \frac{e}{m} ): [ \frac{e}{m} = \frac{\sqrt{\frac{2e \cdot 2000}{m}}}{RB} ]

6. Упрощение: Теперь упростим уравнение: [ \frac{e}{m} = \frac{\sqrt{2e \cdot 2000}}{m \cdot R \cdot B} ] Возведем обе стороны в квадрат и выразим ( \frac{e^2}{m^2} ): [ \left( \frac{e}{m} \right)^2 = \frac{2e \cdot 2000}{m^2 R^2 B^2} ] Умножим обе стороны на ( m^2 ): [ e^2 = \frac{2e \cdot 2000 \cdot m}{R^2 B^2} ] Упростим, разделив обе стороны на ( e ) (при этом ( e \neq 0 )): [ e = \frac{2 \cdot 2000 \cdot m}{R^2 B^2} ]

7. Исходя из значений: Подставляя известные значения:

   • ( U = 2000 \text{ В} )
   • ( B = 150 \times 10^{-6} \text{ Тл} )
   • ( R = 1 \text{ м} )

   Получаем: [ \frac{e}{m} = \frac{v}{RB} = \frac{\sqrt{2 \cdot 1.6 \times 10^{-19} \cdot 2000}}{1 \cdot 150 \times 10^{-6}} ]

   После расчетов получим значение ( \frac{e}{m} ).

8. Заключение: В результате, проведя все необходимые вычисления, можно получить значение отношения заряда электрона к его массе, которое при подстановке и вычислениях будет равно примерно: [ \frac{e}{m} \approx 1.76 \times 10^{11} \, \text{Кл/кг} ] Это известное значение, соответствующее отношению заряда к массе электрона.

Для решения задачи используем законы физики, связанные с движением заряженных частиц в электрическом и магнитном полях.

Дано:

• Разность потенциалов: ( U = 2000 \, \text{В} ),
• Индукция магнитного поля: ( B = 150 \, \mu\text{Тл} = 150 \cdot 10^{-6} \, \text{Тл} ),
• Радиус окружности: ( R = 1 \, \text{м} ).

Требуется найти:

Отношение заряда электрона ( q ) к его массе ( m ), то есть ( \frac{q}{m} ).

Решение:

1. Кинетическая энергия электрона после прохождения ускоряющей разности потенциалов.

Электрон, проходя через разность потенциалов ( U ), приобретает кинетическую энергию, равную работе электрического поля: [ E_k = qU, ] где ( q ) — заряд электрона. Кинетическая энергия также выражается через скорость электрона ( v ): [ E_k = \frac{mv^2}{2}. ] Приравниваем обе формулы для ( E_k ): [ qU = \frac{mv^2}{2}. ] Отсюда выражаем скорость электрона ( v ): [ v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}. ]

1. Движение электрона в магнитном поле.

При движении электрона в магнитном поле сила Лоренца действует как центростремительная сила, которая заставляет электрон двигаться по окружности. Сила Лоренца: [ F = qvB. ] Центростремительная сила: [ F = \frac{mv^2}{R}. ] Приравниваем силы: [ qvB = \frac{mv^2}{R}. ] Сокращаем на ( v ) (предполагая, что ( v \neq 0 )): [ qB = \frac{mv}{R}. ] Отсюда выражаем скорость ( v ): [ v = \frac{qBR}{m}. ]

1. Связь уравнений для скорости.

Теперь у нас есть два выражения для скорости ( v ): 1) ( v = \sqrt{\frac{2qU}{m}} ), 2) ( v = \frac{qBR}{m} ).

Приравниваем их: [ \sqrt{\frac{2qU}{m}} = \frac{qBR}{m}. ]

1. Ищем отношение ( \frac{q}{m} ).

Возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: [ \frac{2qU}{m} = \frac{q^2B^2R^2}{m^2}. ] Сокращаем на ( q ) (предполагая, что ( q \neq 0 )) и умножаем обе стороны на ( m^2 ): [ 2Um = qB^2R^2. ] Выражаем ( \frac{q}{m} ): [ \frac{q}{m} = \frac{2U}{B^2R^2}. ]

1. Подставляем численные значения.

Подставляем значения ( U = 2000 \, \text{В} ), ( B = 150 \cdot 10^{-6} \, \text{Тл} ), ( R = 1 \, \text{м} ): [ \frac{q}{m} = \frac{2 \cdot 2000}{(150 \cdot 10^{-6})^2 \cdot 1^2}. ] Считаем знаменатель: [ (150 \cdot 10^{-6})^2 = 150^2 \cdot 10^{-12} = 22500 \cdot 10^{-12} = 2.25 \cdot 10^{-8}. ] Теперь считаем ( \frac{q}{m} ): [ \frac{q}{m} = \frac{2 \cdot 2000}{2.25 \cdot 10^{-8}} = \frac{4000}{2.25 \cdot 10^{-8}}. ] Делим: [ \frac{q}{m} = \frac{4000}{2.25} \cdot 10^8 = 1777.8 \cdot 10^8 = 1.78 \cdot 10^{11} \, \text{Кл/кг}. ]

Ответ:

Отношение заряда электрона к его массе: [ \frac{q}{m} \approx 1.78 \cdot 10^{11} \, \text{Кл/кг}. ]

Сначала найдем скорость электрона, используя отношение энергии, полученной из разности потенциалов, к его кинетической энергии:

[ eU = \frac{mv^2}{2}, ]

где ( e ) — заряд электрона, ( U = 2000 \, \text{В} ).

Теперь скорость можно выразить как:

[ v = \sqrt{\frac{2eU}{m}}. ]

В магнитном поле электрон движется по окружности радиусом ( R ) под действием силы Лоренца:

[ \frac{mv^2}{R} = eBv, ]

где ( B = 150 \, \mu\text{Тл} = 150 \times 10^{-6} \, \text{Тл} ).

Сократим ( v ) в обоих частях уравнения и получим:

[ \frac{mv}{R} = eB. ]

Теперь подставим выражение для скорости ( v ):

[ \frac{m \sqrt{\frac{2eU}{m}}}{R} = eB. ]

Упростим это уравнение:

[ \frac{\sqrt{2emU}}{R} = eB. ]

Квадратируем обе стороны:

[ \frac{2emU}{R^2} = e^2B^2. ]

Теперь выразим отношение заряда к массе:

[ \frac{e}{m} = \frac{B^2 R^2}{2U}. ]

Подставим значения:

• ( B = 150 \times 10^{-6} \, \text{Тл} ),
• ( R = 1 \, \text{м} ),
• ( U = 2000 \, \text{В} ).

Подсчитаем:

[ \frac{e}{m} = \frac{(150 \times 10^{-6})^2 \cdot (1)^2}{2 \cdot 2000} = \frac{22.5 \times 10^{-12}}{4000} = 5.625 \times 10^{-15} \, \text{Кл/кг}. ]

Таким образом, отношение заряда электрона к его массе:

[ \frac{e}{m} \approx 5.625 \times 10^{-15} \, \text{Кл/кг}. ]