При равноускоренном движении точка проходит в первые два равных последовательных промежутка времени, по 4 с каждый, пути 24 м и 64 м. Определить начальную скорость и ускорение движущейся точки.
При равноускоренном движении точка проходит в первые два равных последовательных промежутка времени, по 4 с каждый, пути 24 м и 64 м. Определить начальную скорость и ускорение движущейся точки.
Для решения данной задачи воспользуемся уравнением равноускоренного движения: [S = v_0t + \frac{1}{2}at^2]
Зная, что точка проходит первые два равных последовательных промежутка времени по 4 с каждый, пути 24 м и 64 м, мы можем составить систему уравнений: [24 = 4v_0 + 8a] [64 = 8v_0 + 32a]
Решив данную систему уравнений, найдем начальную скорость и ускорение движущейся точки: [v_0 = 2 \, м/с] [a = 3 \, м/с^2]
Таким образом, начальная скорость точки равна 2 м/с, а ускорение равно 3 м/с^2.
Для решения задачи используем уравнения движения с постоянным ускорением. Пусть ( v_0 ) — начальная скорость, ( a ) — ускорение, ( t_1 ) и ( t_2 ) — равные промежутки времени (по 4 секунды каждый).
Для равноускоренного движения путь, пройденный за время ( t ), определяется уравнением:
[ S = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 ]
Задача говорит, что за первые 4 секунды (первый промежуток времени) точка проходит 24 метра. Подставляем значения:
[ 24 = v_0 \times 4 + \frac{1}{2} a \times 4^2 ]
Это уравнение можно записать как:
[ 24 = 4v_0 + 8a ]
За следующие 4 секунды (второй промежуток времени) точка проходит 64 метра, но учитывая, что 64 метра — это путь за второй промежуток времени, общий путь за первые 8 секунд (сумма двух промежутков) составит ( 24 + 64 = 88 ) метров. Тогда имеем:
[ 88 = v_0 \times 8 + \frac{1}{2} a \times 8^2 ]
Это уравнение можно записать как:
[ 88 = 8v_0 + 32a ]
Теперь у нас есть система двух уравнений:
Упростим первое уравнение:
[ v_0 + 2a = 6 \quad \text{(разделив все на 4)} ]
Упростим второе уравнение:
[ 2v_0 + 8a = 22 \quad \text{(разделив все на 4)} ]
Теперь из первого уравнения выразим ( v_0 ):
[ v_0 = 6 - 2a ]
Подставим выражение для ( v_0 ) во второе уравнение:
[ 2(6 - 2a) + 8a = 22 ]
Раскроем скобки:
[ 12 - 4a + 8a = 22 ]
Соберем подобные члены:
[ 12 + 4a = 22 ]
Решим уравнение относительно ( a ):
[ 4a = 10 ]
[ a = 2.5 \, \text{м/с}^2 ]
Теперь найдем ( v_0 ), подставив найденное значение ( a ) в уравнение ( v_0 = 6 - 2a ):
[ v_0 = 6 - 2 \times 2.5 = 6 - 5 = 1 \, \text{м/с} ]
Таким образом, начальная скорость ( v_0 ) составляет 1 м/с, а ускорение ( a ) — 2.5 м/с².
Для определения начальной скорости и ускорения движущейся точки воспользуемся уравнением равноускоренного движения:
(s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2),
где (s) - путь, (v_0) - начальная скорость, (a) - ускорение, (t) - время.
Из условия задачи:
(s_1 = 24 \, м, \, s_2 = 64 \, м, \, t_1 = 4 \, с, \, t_2 = 4 \, с).
Подставляем значения в уравнение движения для первого участка:
(24 = v_0 \cdot 4 + \frac{1}{2} a \cdot 4^2),
(24 = 4v_0 + 8a) - (1).
Подставляем значения в уравнение движения для второго участка:
(64 = v_0 \cdot 8 + \frac{1}{2} a \cdot 8^2),
(64 = 8v_0 + 32a) - (2).
Решаем систему уравнений (1) и (2) и находим начальную скорость и ускорение движущейся точки.
