При давлении 200 кПа концентрация молекул идеального газа в некотором сосуде равна 3*10^25 м^-3. Определите...

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа определяется по формуле:

[ E_k = \frac{3}{2} k T ]

где ( k ) — постоянная Больцмана, а ( T ) — температура в Кельвинах.

Согласно уравнению состояния идеального газа:

[ PV = nRT ]

где ( P ) — давление, ( V ) — объем, ( n ) — количество вещества, ( R ) — универсальная газовая постоянная.

С использованием концентрации молекул ( n = C \cdot V ):

[ C = \frac{n}{V} ]

Отсюда, можно выразить температуру:

[ T = \frac{P}{C \cdot k} ]

Подставим ( C = 3 \times 10^{25} \, \text{м}^{-3} ) и ( P = 200 \times 10^3 \, \text{Па} ):

[ k \approx 1.38 \times 10^{-23} \, \text{Дж/К} ]

Теперь вычислим температуру:

[ T = \frac{200 \times 10^3}{3 \times 10^{25} \times 1.38 \times 10^{-23}} ]

После вычислений получаем температуру, затем подставляем её в формулу для средней кинетической энергии.

В результате:

[ E_k \approx 0.004 \, \text{Дж} ]

Таким образом, средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы этого газа составляет примерно 0.004 Дж.

Чтобы определить среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы идеального газа, можно воспользоваться уравнением состояния идеального газа и формулой для средней кинетической энергии молекулы.

1. Уравнение состояния идеального газа: [ PV = nRT ] где:

   • ( P ) — давление (200 кПа = ( 200 \times 10^3 ) Па),
   • ( V ) — объем,
   • ( n ) — количество молей газа,
   • ( R ) — универсальная газовая постоянная (( R \approx 8.31 \, \text{Дж/(моль·К)} )),
   • ( T ) — температура в Кельвинах.

2. Средняя кинетическая энергия молекулы: Средняя кинетическая энергия ( E_k ) одной молекулы идеального газа определяется по формуле: [ E_k = \frac{3}{2} k T ] где ( k ) — постоянная Больцмана (( k \approx 1.38 \times 10^{-23} \, \text{Дж/K} )).

3. Сначала найдем температуру газа. Используем уравнение состояния идеального газа в другой форме, выразив его через концентрацию молекул. Концентрация молекул ( n ) связана с количеством молей ( n ) через следующую формулу: [ n = \frac{N}{N_A} ] где:

   • ( N ) — общее количество молекул,
   • ( N_A ) — число Авогадро (( N_A \approx 6.022 \times 10^{23} \, \text{молекул/моль} )).

   Концентрация ( C ) молекул: [ C = \frac{N}{V} \implies N = C \cdot V ] Подставляя это в уравнение состояния, получаем: [ P = C \cdot k \cdot T ]

   Из этого уравнения можно выразить температуру: [ T = \frac{P}{C \cdot k} ]

   Подставляем известные значения: [ P = 200 \times 10^3 \, \text{Па}, \quad C = 3 \times 10^{25} \, \text{м}^{-3}, \quad k \approx 1.38 \times 10^{-23} \, \text{Дж/K} ] [ T = \frac{200 \times 10^3}{3 \times 10^{25} \cdot 1.38 \times 10^{-23}} \approx \frac{200 \times 10^3}{4.14 \times 10^2} \approx 483.5 \, \text{K} ]

4. Теперь найдем среднюю кинетическую энергию: Подставляя значение температуры ( T ) в формулу для средней кинетической энергии: [ E_k = \frac{3}{2} k T = \frac{3}{2} \cdot (1.38 \times 10^{-23}) \cdot 483.5 ] [ E_k \approx \frac{3}{2} \cdot 6.67 \times 10^{-21} \approx 1.00 \times 10^{-20} \, \text{Дж} ]

Таким образом, средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы этого газа составляет примерно ( 1.00 \times 10^{-20} ) Дж.

Для определения средней кинетической энергии поступательного движения одной молекулы идеального газа воспользуемся уравнением состояния идеального газа и кинетической теорией.

Дано:

• Давление ( P = 200 \, \text{кПа} = 2 \cdot 10^5 \, \text{Па} ),
• Концентрация молекул ( n = 3 \cdot 10^{25} \, \text{м}^{-3} ).

Найти:

Среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы ( \langle E_k \rangle ).

Решение:

1. Связь давления и концентрации газа: Уравнение состояния идеального газа в микроскопической форме выражается через давление ( P ), концентрацию молекул ( n ) и среднюю кинетическую энергию одной молекулы ( \langle E_k \rangle ): [ P = n \cdot \langle E_k \rangle. ]

   Отсюда среднюю кинетическую энергию можно найти как: [ \langle E_k \rangle = \frac{P}{n}. ]

2. Подставляем значения: [ \langle E_k \rangle = \frac{2 \cdot 10^5}{3 \cdot 10^{25}}. ]

   Выполним вычисления: [ \langle E_k \rangle = \frac{2}{3} \cdot 10^{-20} \, \text{Дж}. ]

   Окончательно: [ \langle E_k \rangle = 0.67 \cdot 10^{-20} \, \text{Дж}. ]

3. Связь с температурой (дополнительно): Согласно кинетической теории, средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы связана с температурой ( T ) следующим образом: [ \langle E_k \rangle = \frac{3}{2} k_B T, ] где ( k_B \approx 1.38 \cdot 10^{-23} \, \text{Дж/К} ) — постоянная Больцмана.

   Если необходимо, можно определить температуру газа, выразив её как: [ T = \frac{2 \langle E_k \rangle}{3 k_B}. ]

Ответ:

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы газа равна: [ \langle E_k \rangle = 0.67 \cdot 10^{-20} \, \text{Дж}. ]