Поршень площадью 10 см массой 5 кг может без трения перемещаться в вертикальном цилиндрическом сосуде, обеспечивая при этом его герметичность. Сосуд с поршнем, заполненный газом покоится на полу неподвижного лифта при атмосферном давлении 100 кПа, при этом расстояние от нижнего края поршня до дна сосуда находится на расстоянии 20 см. Каким станет это расстояние когда лифт поедет вниз с ускорением равным 3 м/с2? Изменение температуры газа не учитывать. Ответ должен получиться 2,22
Для решения данной задачи воспользуемся уравнением равновесия сил: P1A1 + mg = P2A2 + ma
Где: P1 и P2 - давление газа в начальный и конечный моменты времени (в начале и в конце движения лифта); A1 и A2 - площади поршня в начальный и конечный моменты времени; m - масса поршня; g - ускорение свободного падения; a - ускорение лифта.
Из условия задачи известно: P1 = 100 кПа = 100 000 Па A1 = 10 см^2 = 0.001 м^2 m = 5 кг g = 9,8 м/с^2 a = 3 м/с^2
Так как поршень герметичный, то давление газа внутри сосуда остаётся постоянным, следовательно P1 = P2. Подставим известные значения в уравнение:
100 000 0.001 + 5 9,8 = 100 000 A2 + 5 3
100 + 49 = 100 000 A2 + 15 149 = 100 000 A2 + 15 100 000 * A2 = 134 A2 = 134 / 100 000 A2 = 0,00134 м^2
Далее, используем формулу для нахождения нового расстояния от нижнего края поршня до дна сосуда: V1 = S1 h1 = S2 h2
где: S1 и S2 - площади поршня в начальный и конечный моменты времени; h1 и h2 - расстояния от нижнего края поршня до дна сосуда в начальный и конечный моменты времени.
Из условия задачи: S1 = 0.001 м^2 h1 = 0.2 м S2 = 0.00134 м^2
Подставляем значения: 0.001 0.2 = 0.00134 h2 0.0002 = 0.00134 * h2 h2 = 0.0002 / 0.00134 h2 ≈ 0.1492537 м
Таким образом, новое расстояние от нижнего края поршня до дна сосуда будет примерно 0.149 м или 14.9 см.
Для решения этой задачи воспользуемся законом Паскаля и уравнением состояния идеального газа (законом Бойля-Мариотта), так как температура газа остаётся постоянной.
Рассчитаем начальное давление под поршнем: Поршень массой 5 кг создаёт силу ( F = mg ), где ( g ) – ускорение свободного падения, примерно равное 9,8 м/с². Таким образом, ( F = 5 \times 9,8 = 49 ) Н.
Площадь поршня ( A ) равна 10 см², что в метрической системе составляет ( 10 \times 10^{-4} = 0,001 ) м².
Давление, создаваемое поршнем, равно ( P_{\text{поршень}} = \frac{F}{A} = \frac{49}{0,001} = 49000 ) Па.
Общее давление под поршнем, учитывая атмосферное давление, будет ( P_{\text{нач}} = 100000 + 49000 = 149000 ) Па.
Учитываем изменение условий при движении вниз с ускорением: Когда лифт ускоряется вниз с ускорением ( a = 3 ) м/с², эффективное ускорение, с которым поршень давит на газ, становится равным ( g - a = 9,8 - 3 = 6,8 ) м/с².
Сила, действующая на поршень, теперь равна ( F' = m(g - a) = 5 \times 6,8 = 34 ) Н.
Новое давление под поршнем будет ( P{\text{поршень нов}} = \frac{F'}{A} = \frac{34}{0,001} = 34000 ) Па. И общее давление под поршнем: ( P{\text{нов}} = 100000 + 34000 = 134000 ) Па.
Применяем закон Бойля-Мариотта: По закону Бойля-Мариотта ( P_1 V_1 = P_2 V_2 ). Объёмы до и после можно выразить через площадь поршня и высоту цилиндра под поршнем: ( V_1 = A h_1 ) и ( V_2 = A h_2 ), где ( h_1 = 0,2 ) м и ( h_2 ) – новая высота.
Таким образом, ( P_{\text{нач}} \cdot A \cdot h1 = P{\text{нов}} \cdot A \cdot h_2 ).
Отсюда, ( h2 = \frac{P{\text{нач}} \cdot h1}{P{\text{нов}}} = \frac{149000 \cdot 0,2}{134000} \approx 0,222 ) м или 22,2 см.
Таким образом, расстояние от нижнего края поршня до дна сосуда при движении лифта вниз с ускорением 3 м/с² станет приблизительно 22,2 см.
