Помогите пожалуйста решить : Амплитуда колебаний материальной точки 2 см, а максимальное значение ускорения...

Для решения задачи сначала определим необходимые формулы и понятия.

Материальная точка совершает гармонические колебания, которые можно описать уравнением: $x(t)=A\cos (\omega t+\varphi ),$ где $x(t$ ) — смещение точки в момент времени $t$, $A$ — амплитуда колебаний, $\omega$ — циклическая частота, и $\varphi$ — начальная фаза.

Ускорение при гармонических колебаниях определяется второй производной смещения по времени: $a(t)=-{\omega }^{2}A\cos (\omega t+\varphi ).$

Максимальное значение ускорения ( a{\text{max}} ) достигается, когда $\cos (\omega t+\varphi$ = \pm 1), то есть: [ a{\text{max}} = \omega^2 A. ]

По условию задачи, амплитуда колебаний $A=2$ см, а максимальное значение ускорения $a_{\text{max}}=8$ см/с². Подставим эти значения в уравнение максимального ускорения: $8={\omega }^2\times 2.$

Решим это уравнение для ${\omega }^2$: ${\omega }^2=\frac{8}{2}=4.$

Теперь найдем циклическую частоту $\omega$: $\omega =\sqrt{4}=2\text{рад/с}.$

Циклическая частота связана с частотой $f$ и периодом $T$ колебаний следующими соотношениями: $\omega =2\pi f,$ $T=\frac{1}{f}.$

Выразим период $T$ через $\omega$: $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{2}=\pi \text{с}.$

Таким образом, циклическая частота колебаний составляет $2\text{рад/с}$, а период колебаний — $\pi \text{с}$.

Для решения данной задачи нам необходимо использовать формулы для колебательного движения материальной точки.

1. Циклическая частота $\omega$ выражается формулой: ω = 2π / T, где T - период колебаний.

2. Максимальное значение ускорения $a_{m}ax$ связано с амплитудой $A$ формулой: a_max = ω^2 * A.

Из условия задачи у нас дано, что амплитуда колебаний A = 2 см = 0.02 м и максимальное значение ускорения a_max = 8 см/c^2 = 0.08 м/c^2.

Сначала найдем циклическую частоту: a_max = ω^2 A, 0.08 = ω^2 0.02, ω^2 = 0.08 / 0.02 = 4, ω = √4 = 2 рад/c.

Теперь найдем период колебаний: ω = 2π / T, 2 = 2π / T, T = 2π / 2 = π с.

Итак, циклическая частота колебаний равна 2 рад/c, а период колебаний равен π секунд.

Циклическая частота: 4π рад/с, период колебаний: 1/2π с.