Помогите пожалуйста решить : Амплитуда колебаний материальной точки 2 см, а максимальное значение ускорения...

Для решения задачи сначала определим необходимые формулы и понятия.

Материальная точка совершает гармонические колебания, которые можно описать уравнением: [ x(t) = A \cos(\omega t + \phi), ] где ( x(t) ) — смещение точки в момент времени ( t ), ( A ) — амплитуда колебаний, ( \omega ) — циклическая частота, и ( \phi ) — начальная фаза.

Ускорение при гармонических колебаниях определяется второй производной смещения по времени: [ a(t) = -\omega^2 A \cos(\omega t + \phi). ]

Максимальное значение ускорения ( a{\text{max}} ) достигается, когда (\cos(\omega t + \phi) = \pm 1), то есть: [ a{\text{max}} = \omega^2 A. ]

По условию задачи, амплитуда колебаний ( A = 2 ) см, а максимальное значение ускорения ( a_{\text{max}} = 8 ) см/с². Подставим эти значения в уравнение максимального ускорения: [ 8 = \omega^2 \times 2. ]

Решим это уравнение для (\omega^2): [ \omega^2 = \frac{8}{2} = 4. ]

Теперь найдем циклическую частоту (\omega): [ \omega = \sqrt{4} = 2 \, \text{рад/с}. ]

Циклическая частота связана с частотой ( f ) и периодом ( T ) колебаний следующими соотношениями: [ \omega = 2\pi f, ] [ T = \frac{1}{f}. ]

Выразим период ( T ) через (\omega): [ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2} = \pi \, \text{с}. ]

Таким образом, циклическая частота колебаний составляет ( 2 \, \text{рад/с} ), а период колебаний — ( \pi \, \text{с} ).

Для решения данной задачи нам необходимо использовать формулы для колебательного движения материальной точки.

1. Циклическая частота (ω) выражается формулой: ω = 2π / T, где T - период колебаний.

2. Максимальное значение ускорения (a_max) связано с амплитудой (A) формулой: a_max = ω^2 * A.

Из условия задачи у нас дано, что амплитуда колебаний A = 2 см = 0.02 м и максимальное значение ускорения a_max = 8 см/c^2 = 0.08 м/c^2.

Сначала найдем циклическую частоту: a_max = ω^2 A, 0.08 = ω^2 0.02, ω^2 = 0.08 / 0.02 = 4, ω = √4 = 2 рад/c.

Теперь найдем период колебаний: ω = 2π / T, 2 = 2π / T, T = 2π / 2 = π с.

Итак, циклическая частота колебаний равна 2 рад/c, а период колебаний равен π секунд.

Циклическая частота: 4π рад/с, период колебаний: 1/2π с.