Однородная балка массой m=200 кг своими концами лежит на опорах, расстояние между которыми L=6 м. На...

Для решения задачи определим реакции опор ( R_1 ) (левая опора) и ( R_2 ) (правая опора). Используем законы статики: сумма сил в вертикальном направлении равна нулю, и сумма моментов относительно любой точки также равна нулю.

Дано:

• Масса балки ( m = 200 \, \text{кг} ),
• Масса груза ( m_2 = 150 \, \text{кг} ),
• Расстояние между опорами ( L = 6 \, \text{м} ),
• Расстояние от груза до правой опоры ( L_1 = 1 \, \text{м} ).

Сила тяжести действует на балку и груз. Ускорение свободного падения ( g = 9.81 \, \text{м/с}^2 ). Сила тяжести балки равна ( F_b = m \cdot g ), а сила тяжести груза ( F_2 = m_2 \cdot g ).

Шаг 1: Определим силы тяжести

• ( F_b = m \cdot g = 200 \cdot 9.81 = 1962 \, \text{Н} ),
• ( F_2 = m_2 \cdot g = 150 \cdot 9.81 = 1471.5 \, \text{Н} ).

Шаг 2: Распределение сил

Сила тяжести балки ( F_b ) приложена к её центру масс, то есть равномерно распределена. Это означает, что точка приложения силы находится в середине балки, на расстоянии ( \frac{L}{2} = 3 \, \text{м} ) от левой опоры.

Сила тяжести груза ( F_2 ) приложена на расстоянии ( L - L_1 = 6 - 1 = 5 \, \text{м} ) от левой опоры.

Шаг 3: Уравнение сумм моментов

Для вычисления реакций опор используем условие равновесия моментов относительно одной из опор. Выберем точку правой опоры (где действует реакция ( R_2 )) как ось вращения.

Сумма моментов относительно правой опоры: [ \sum M_{O_2} = 0. ]

Моменты создают:

• ( R_1 ) (момент по часовой стрелке): ( R_1 \cdot L ),
• ( F_b ) (момент против часовой стрелки): ( F_b \cdot \frac{L}{2} ),
• ( F_2 ) (момент против часовой стрелки): ( F_2 \cdot L_1 ).

Подставляем в уравнение: [ R_1 \cdot L = F_b \cdot \frac{L}{2} + F_2 \cdot L_1. ]

Подставим значения: [ R_1 \cdot 6 = 1962 \cdot 3 + 1471.5 \cdot 1. ]

Вычислим: [ R_1 \cdot 6 = 5886 + 1471.5, ] [ R_1 \cdot 6 = 7357.5. ]

Разделим на ( 6 ): [ R_1 = \frac{7357.5}{6} \approx 1226 \, \text{Н}. ]

Шаг 4: Уравнение суммы сил

Сумма всех вертикальных сил равна 0: [ R_1 + R_2 = F_b + F_2. ]

Подставим значения: [ R_1 + R_2 = 1962 + 1471.5. ]

Вычислим: [ R_1 + R_2 = 3433.5 \, \text{Н}. ]

Подставим ( R_1 ) в это уравнение: [ 1226 + R_2 = 3433.5. ]

Вычислим: [ R_2 = 3433.5 - 1226 = 2207.5 \, \text{Н}. ]

Ответ:

• Реакция левой опоры: ( R_1 \approx 1226 \, \text{Н} ),
• Реакция правой опоры: ( R_2 \approx 2207.5 \, \text{Н}. )

Для решения задачи необходимо использовать условия равновесия для балки и учитывать силы, действующие на нее. Давайте обозначим:

• ( R_1 ) — реакция левой опоры,
• ( R_2 ) — реакция правой опоры.

Сначала запишем, какие силы действуют на балку:

1. Вес балки ( W_b = mg = 200 \, \text{кг} \cdot 9.81 \, \text{м/с}^2 = 1962 \, \text{Н} ) действует на её центр, который находится посередине балки, то есть на расстоянии ( L/2 = 3 \, \text{м} ) от левой опоры.
2. Вес груза ( W_g = m_2 g = 150 \, \text{кг} \cdot 9.81 \, \text{м/с}^2 = 1471.5 \, \text{Н} ) действует на расстоянии ( L_1 = 1 \, \text{м} ) от правой опоры, то есть на расстоянии ( 6 - 1 = 5 \, \text{м} ) от левой опоры.

Теперь, используя условия равновесия, можем записать уравнение для сумм моментов относительно одной из опор. Выберем левую опору (опору 1):

[ \sum M_{R_1} = 0 ]

Моменты, действующие на левую опору, можно записать следующим образом:

[ R_2 \cdot L - W_b \cdot \frac{L}{2} - W_g \cdot (L - L_1) = 0 ]

Подставим значения:

[ R_2 \cdot 6 - 1962 \cdot 3 - 1471.5 \cdot 5 = 0 ]

Теперь решим это уравнение для ( R_2 ):

[ R_2 \cdot 6 = 5886 + 7357.5 ]

[ R_2 \cdot 6 = 13243.5 ]

[ R_2 = \frac{13243.5}{6} \approx 2207.25 \, \text{Н} ]

Теперь, зная ( R_2 ), можем использовать закон сохранения вертикальных сил:

[ R_1 + R_2 = W_b + W_g ]

Подставим известные значения:

[ R_1 + 2207.25 = 1962 + 1471.5 ]

[ R_1 + 2207.25 = 3433.5 ]

Теперь решим для ( R_1 ):

[ R_1 = 3433.5 - 2207.25 \approx 1226.25 \, \text{Н} ]

Таким образом, реакции опор равны:

• ( R_1 \approx 1226.25 \, \text{Н} ) (модуль реакции левой опоры),
• ( R_2 \approx 2207.25 \, \text{Н} ) (модуль реакции правой опоры).