Давайте рассмотрим каждую задачу по отдельности.
Задача 1:
Дано:
- Объем баллона ( V = 5 \, \text{л} = 0.005 \, \text{м}^3 )
- Кинетическая энергия молекул ( W_k = 6 \, \text{кДж} = 6000 \, \text{Дж} )
Необходимо найти давление ( p ) в баллоне. Используем уравнение для кинетической энергии:
[ W_k = \frac{3}{2} nRT ]
где ( n ) — количество молей, ( R ) — универсальная газовая постоянная (( R = 8.31 \, \text{Дж/(моль} \cdot \text{К)} )), ( T ) — температура в Кельвинах.
Для нахождения давления используем уравнение состояния идеального газа:
[ pV = nRT ]
Из двух уравнений выведем давление:
- Сначала выразим ( nT ) из первого уравнения:
[ nT = \frac{2W_k}{3R} ]
- Подставим это значение во второе уравнение:
[ pV = \frac{2W_k}{3} ]
- Выразим ( p ):
[ p = \frac{2W_k}{3V} ]
Подставим численные значения:
[ p = \frac{2 \times 6000}{3 \times 0.005} = \frac{12000}{0.015} = 800000 \, \text{Па} = 0.8 \, \text{МПа} ]
Задача 2:
Дано:
- Давление ( p = 3 \times 10^4 \, \text{Па} )
- Температура ( t = -43^\circ \text{C} \Rightarrow T = -43 + 273.15 = 230.15 \, \text{К} )
Используем уравнение состояния идеального газа в форме:
[ \rho = \frac{pM}{RT} ]
где ( M ) — молярная масса воздуха (( M \approx 0.029 \, \text{кг/моль} )), ( R = 8.31 \, \text{Дж/(моль} \cdot \text{К)} ).
Подставим значения:
[ \rho = \frac{3 \times 10^4 \times 0.029}{8.31 \times 230.15} \approx \frac{870}{1912.265} \approx 0.455 \, \text{кг/м}^3 ]
Задача 3:
Дано:
- Температура ( t = 20^\circ \text{C} \Rightarrow T = 293.15 \, \text{К} )
Скорость молекулы ( v ) равна средней квадратичной скорости:
[ v = \sqrt{\frac{3kT}{m}} ]
где ( k ) — постоянная Больцмана (( k = 1.38 \times 10^{-23} \, \text{Дж/К} )), ( m ) — масса молекулы водорода (( m = \frac{2}{\text{N}_A} \approx 3.32 \times 10^{-27} \, \text{кг} )).
Подставим значения:
[ v = \sqrt{\frac{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 293.15}{3.32 \times 10^{-27}}} ]
[ v \approx \sqrt{\frac{1.211 \times 10^{-20}}{3.32 \times 10^{-27}}} \approx \sqrt{3.647 \times 10^6} \approx 1908 \, \text{м/с} ]
Импульс ( p ) молекулы:
[ p = mv = 3.32 \times 10^{-27} \times 1908 \approx 6.33 \times 10^{-24} \, \text{кг} \cdot \text{м/с} ]
Задача 4:
Дано:
- Объем ( V = 120 \, \text{м}^3 )
- Температура ( T_1 = 15^\circ \text{C} = 288.15 \, \text{К} )
- Температура ( T_2 = 25^\circ \text{C} = 298.15 \, \text{К} )
- Давление ( p = 10^5 \, \text{Па} )
Используем уравнение состояния идеального газа:
[ n = \frac{pV}{RT} ]
Количество молекул ( N ) связано с количеством молей ( n ) через постоянную Авогадро ( N_A ).
Разность в количестве молекул:
[ \Delta n = n_1 - n_2 = \frac{pV}{R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right) ]
Количество молекул:
[ \Delta N = \Delta n \cdot N_A = \frac{pV}{R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right) \cdot N_A ]
Подставим значения:
[ \Delta N = \frac{10^5 \times 120}{8.31} \left( \frac{1}{288.15} - \frac{1}{298.15} \right) \times 6.022 \times 10^{23} ]
[ \Delta N \approx \frac{1.2 \times 10^7}{8.31} \left( 0.00347 - 0.00335 \right) \times 6.022 \times 10^{23} ]
[ \Delta N \approx 1.44 \times 10^{24} \times 0.00012 \approx 1.73 \times 10^{20} ]
Таким образом, при повышении температуры из комнаты выйдет примерно ( 1.73 \times 10^{20} ) молекул воздуха.
