Напряжение на обкладках конденсатора емкостью 1 мкФ меняется по закону U =100 cos 500t (В). Найдите:...

а) Максимальное значение напряжения на конденсаторе будет равно амплитуде колебаний, то есть 100 В.

б) Для нахождения периода колебаний можно воспользоваться формулой T = 2π/ω, где ω - угловая частота. В данном случае ω = 500 рад/с, следовательно, период колебаний составляет T = 2π/500 ≈ 0,0126 с. Частота колебаний f = 1/T ≈ 79,4 Гц. Циклическая частота колебаний равна ω/2π = 500/2π ≈ 79,6 Гц.

в) Максимальный заряд конденсатора можно найти по формуле Q = CU_max, где C - ёмкость конденсатора. Значит, максимальный заряд конденсатора равен Q = 1 мкФ * 100 В = 100 мкКл.

г) Для нахождения индуктивности контура можно воспользоваться формулой ω = 1/√(LC), откуда L = 1/(ω^2C) = 1/(500^2 1 10^-6) ≈ 4 мГн.

д) Максимальная сила тока в контуре будет равна максимальному значению напряжения, деленному на индуктивность контура, то есть Imax = Umax/L = 100 В / 4 мГн = 25 А.

е) Уравнение зависимости заряда конденсатора от времени будет иметь вид Q(t) = CU(t) = C 100 cos(500t) мкКл.

ж) Уравнение зависимости силы тока от времени можно найти, используя закон Ома: I(t) = U(t)/R, где R - сопротивление контура. Так как сопротивление не указано, данное уравнение будет зависеть от параметров контура.

Давайте разберем каждую часть задачи последовательно.

а) Максимальное значение напряжения на конденсаторе:

Закон изменения напряжения на обкладках конденсатора задан как ( U(t) = 100 \cos(500t) ). Максимальное значение этого напряжения — это амплитуда функции косинуса. Следовательно, максимальное значение напряжения ( U_{\text{max}} ) равно 100 Вольт.

б) Период, частота и циклическая частота колебаний в контуре:

Заданное уравнение имеет вид ( U(t) = 100 \cos(\omega t) ), где (\omega = 500 \, \text{рад/с}) — это циклическая частота.

• Циклическая частота (\omega): Уже дана, (\omega = 500 \, \text{рад/с}).

• Частота (f): Она связана с циклической частотой соотношением (f = \frac{\omega}{2\pi}). Подставляя значение (\omega = 500), получаем: [ f = \frac{500}{2\pi} \approx 79.58 \, \text{Гц} ]

• Период (T): Период — это величина, обратная частоте: (T = \frac{1}{f}). Таким образом: [ T = \frac{1}{79.58} \approx 0.0126 \, \text{с} ]

в) Максимальный заряд конденсатора:

Максимальный заряд (Q{\text{max}}) на конденсаторе связан с максимальным напряжением и емкостью формулой (Q = CU). Подставляя известные значения: [ Q{\text{max}} = 1 \times 10^{-6} \, \text{Ф} \times 100 \, \text{В} = 100 \times 10^{-6} \, \text{Кл} = 0.1 \, \text{мКл} ]

г) Индуктивность контура:

Для нахождения индуктивности используем соотношение для LC-контура: (\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}). Переписываем это уравнение для индуктивности (L): [ L = \frac{1}{\omega^2 C} ] Подставляя значения (\omega = 500 \, \text{рад/с}) и (C = 1 \times 10^{-6} \, \text{Ф}): [ L = \frac{1}{(500)^2 \times 1 \times 10^{-6}} = \frac{1}{250000 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.25} = 4 \, \text{мГн} ]

д) Максимальная сила тока в контуре:

Максимальная сила тока в LC-контуре определяется как (I{\text{max}} = \omega Q{\text{max}}). Подставляем известные значения: [ I_{\text{max}} = 500 \times 0.1 \times 10^{-3} = 0.05 \, \text{А} ]

е) Уравнение зависимости заряда конденсатора от времени:

Заряд конденсатора изменяется с течением времени по закону (Q(t) = CU(t)). Поэтому: [ Q(t) = 1 \times 10^{-6} \times 100 \cos(500t) = 0.1 \times 10^{-3} \cos(500t) \, \text{Кл} ]

ж) Уравнение зависимости силы тока от времени:

Сила тока в контуре определяется как производная заряда по времени: (I(t) = \frac{dQ}{dt}). Дифференцируем уравнение для заряда: [ I(t) = \frac{d}{dt} \left( 0.1 \times 10^{-3} \cos(500t) \right) = -0.1 \times 10^{-3} \times 500 \sin(500t) ] [ I(t) = -0.05 \sin(500t) \, \text{А} ]

Таким образом, мы вывели все необходимые уравнения и нашли требуемые величины.