Найдете оптическую силу объектива проекционного аппарата, если он дает двадцатикратное увеличение, когда...

Чтобы найти оптическую силу объектива проекционного аппарата, необходимо использовать понятия, связанные с увеличением, расстоянием до объекта и расстоянием до изображения.

1. Определим основные параметры:

   • Увеличение (U) объектива равно 20.
   • Расстояние до слайда (объекта) ( d_o = 21 \, \text{см} ).

2. Формула увеличения: Увеличение объектива можно выразить через расстояние до объекта ( ( d_o ) ) и расстояние до изображения ( ( d_i ) ): [ U = \frac{d_i}{d_o} ] Отсюда можно выразить расстояние до изображения: [ d_i = U \cdot d_o = 20 \cdot 21 \, \text{см} = 420 \, \text{см} ]

3. Оптическая сила: Оптическая сила ( ( F ) ) объектива связана с расстояниями до объекта и изображения через формулу тонкой линзы: [ \frac{1}{F} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} ] Подставляем значения: [ \frac{1}{F} = \frac{1}{21 \, \text{см}} + \frac{1}{420 \, \text{см}} ]

4. Приведем дроби к общему знаменателю: Общий знаменатель для дробей 21 и 420 равен 420. Приведем дроби к этому знаменателю: [ \frac{1}{21} = \frac{20}{420} ] Таким образом, [ \frac{1}{F} = \frac{20}{420} + \frac{1}{420} = \frac{20 + 1}{420} = \frac{21}{420} ]

5. Находим оптическую силу: Теперь можем найти ( F ): [ F = \frac{420}{21} = 20 \, \text{см}^{-1} ]

6. Перевод в диоптрии: Оптическая сила измеряется в диоптриях (дптр), где 1 дптр = 1 см(^{-1}). Таким образом: [ F = 20 \, \text{дптр} ]

Таким образом, оптическая сила объектива проекционного аппарата составляет 20 диоптрий.

Давайте подробно решим задачу.

Дано:

• Увеличение ( Г = 20 ) (двадцатикратное увеличение),
• Расстояние от слайда до объектива ( d = 21 \, \text{см} ).

Нужно найти оптическую силу объектива, то есть его диоптрийное значение ( D ). Оптическая сила ( D ) связана с фокусным расстоянием ( f ) формулой: [ D = \frac{100}{f}, ] где ( f ) выражается в сантиметрах, а ( D ) — в диоптриях.

Шаг 1. Формула увеличения ( Г )

Увеличение ( Г ) в проекционных системах определяется как отношение расстояния от объектива до экрана ( d_2 ) к расстоянию от слайда до объектива ( d_1 ): [ Г = \frac{d_2}{d_1}. ] Отсюда: [ d_2 = Г \cdot d_1. ]

Подставим числовые значения: [ d_2 = 20 \cdot 21 = 420 \, \text{см}. ]

Шаг 2. Уравнение линзы

Для линзы (объектива) выполняется формула линзы: [ \frac{1}{f} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2}, ] где:

• ( f ) — фокусное расстояние линзы,
• ( d_1 ) — расстояние от слайда до объектива,
• ( d_2 ) — расстояние от объектива до экрана.

Подставляем значения ( d_1 = 21 \, \text{см} ) и ( d_2 = 420 \, \text{см} ): [ \frac{1}{f} = \frac{1}{21} + \frac{1}{420}. ]

Приведем к общему знаменателю: [ \frac{1}{f} = \frac{20}{420} + \frac{1}{420} = \frac{21}{420}. ]

Упростим дробь: [ \frac{1}{f} = \frac{1}{20}. ]

Отсюда: [ f = 20 \, \text{см}. ]

Шаг 3. Оптическая сила ( D )

Теперь найдем оптическую силу линзы: [ D = \frac{100}{f}. ]

Подставляем ( f = 20 \, \text{см} ): [ D = \frac{100}{20} = 5 \, \text{дптр}. ]

Ответ:

Оптическая сила объектива равна 5 диоптрий.