Моторная лодка прошла по озеру в направлении на северо-восток 2 км, а затем в северном направлении еще...

Для решения задачи начнем с построения вектора перемещения и определения пути.

1. Построение вектора перемещения:

   • Начальная точка: Обозначим начальную точку лодки как ( A ).
   • Перемещение на северо-восток: Лодка перемещается на 2 км в направлении северо-восток. На плоскости это направление составляет угол 45° относительно оси север (или вертикальной оси). Обозначим конечную точку этого перемещения как ( B ).
   • Перемещение на север: Из точки ( B ) лодка перемещается на 1 км строго на север. Обозначим конечную точку этого перемещения как ( C ).

2. Построение вектора перемещения на плоскости:

   • На графике начертите оси: горизонтальная ось — восток (E), вертикальная ось — север (N).
   • Из точки ( A ) проведите вектор ( AB ) длиной 2 км, направленный под углом 45° к оси север (или вертикальной оси).
   • Из точки ( B ) проведите вертикальный вектор ( BC ) длиной 1 км вверх.

3. Определение пути:

   • Путь, пройденный лодкой, — это сумма длин всех участков пути: ( AB + BC = 2 \text{ км} + 1 \text{ км} = 3 \text{ км} ).

4. Определение модуля перемещения:

   • Вектор перемещения — это вектор ( AC ), соединяющий начальную точку ( A ) и конечную точку ( C ).
   • Для нахождения модуля вектора ( AC ), используем теорему косинусов для треугольника ( ABC ).
   • В треугольнике ( ABC ) угол ( ABC ) равен 45°, так как это угол между вектором на северо-восток и вектором на север.

   Формула теоремы косинусов: [ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(135^\circ) ]

   Подставим значения: [ AC^2 = 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos(135^\circ) ] [ AC^2 = 4 + 1 - 4 \cdot (-\sqrt{2}/2) ] [ AC^2 = 5 + 2\sqrt{2} ]

   Модуль перемещения: [ AC = \sqrt{5 + 2\sqrt{2}} ]

Таким образом, путь, пройденный лодкой, составляет 3 км, а модуль перемещения равен (\sqrt{5 + 2\sqrt{2}}) км.

Для начала нарисуем векторы перемещения лодки по каждому из участков пути. Первый вектор будет направлен на северо-восток и его длина будет равна 2 км. Второй вектор будет направлен на север и его длина будет равна 1 км.

Теперь соединим конец первого вектора с началом второго вектора. Получившийся треугольник будет показывать путь, пройденный лодкой. Модуль перемещения можно найти как длину гипотенузы этого треугольника.

Для нахождения модуля перемещения применим теорему Пифагора: (c = \sqrt{a^2 + b^2}), где (a) и (b) - длины катетов треугольника, (c) - длина гипотенузы.

В данном случае (a = 2) км, (b = 1) км. Подставляя значения в формулу, получаем: (c = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \approx 2.24) км.

Таким образом, модуль перемещения лодки составляет примерно 2.24 км.