Минутная стрелка часов в 2 раза длиннее секундной. Во сколько раз отличаются линейные скорости движения...

Для решения задачи сначала необходимо рассмотреть линейные скорости концов минутной и секундной стрелок, а затем определить их периоды вращения.

1. Линейные скорости стрелок:

   • Обозначим длину секундной стрелки как ( L ). Тогда длина минутной стрелки будет равна ( 2L ) (по условию задачи).

   • Линейная скорость ( v ) кончика стрелки определяется формулой:

     [ v = r \cdot \omega, ]

     где ( r ) — длина стрелки, а ( \omega ) — угловая скорость.

   • Для секундной стрелки:

     • Угловая скорость ( \omega_s = \frac{2\pi}{T_s} ), где ( T_s = 60 ) секунд — период вращения секундной стрелки.
     • Следовательно, линейная скорость кончика секундной стрелки:

     [ v_s = L \cdot \omega_s = L \cdot \frac{2\pi}{60} = \frac{2\pi L}{60}. ]

   • Для минутной стрелки:

     • Угловая скорость ( \omega_m = \frac{2\pi}{T_m} ), где ( T_m = 3600 ) секунд — период вращения минутной стрелки.
     • Линейная скорость кончика минутной стрелки:

     [ v_m = 2L \cdot \omega_m = 2L \cdot \frac{2\pi}{3600} = \frac{4\pi L}{3600}. ]

2. Сравнение линейных скоростей:

   • Теперь найдем отношение линейных скоростей:

   [ \frac{v_m}{v_s} = \frac{\frac{4\pi L}{3600}}{\frac{2\pi L}{60}} = \frac{4\pi L}{3600} \cdot \frac{60}{2\pi L} = \frac{4 \cdot 60}{3600 \cdot 2} = \frac{240}{3600} = \frac{1}{15}. ]

   Таким образом, линейные скорости концов минутной и секундной стрелок отличаются в 15 раз:

   [ v_s = 15 v_m. ]

3. Периоды вращения стрелок:

   • Период вращения секундной стрелки ( T_s = 60 ) секунд.
   • Период вращения минутной стрелки ( T_m = 3600 ) секунд.
   • Отношение периодов:

   [ \frac{T_m}{T_s} = \frac{3600}{60} = 60. ]

Таким образом, линейные скорости концов минутной и секундной стрелок отличаются в 15 раз, а их периоды вращения — в 60 раз.

Для ответа на вопрос давайте разберемся с физическими характеристиками движения концов стрелок: линейной скоростью и периодом вращения.

1. Периоды вращения стрелок

• Секундная стрелка совершает полный оборот за 60 секунд, так как её движение соответствует одной минуте. [ T_{\text{секундной}} = 60 \, \text{с}. ]
• Минутная стрелка совершает полный оборот за 3600 секунд (1 час = 60 минут, где каждая минута — 60 секунд). [ T_{\text{минутной}} = 3600 \, \text{с}. ]

Отношение периодов вращения: [ \frac{T{\text{минутной}}}{T{\text{секундной}}} = \frac{3600}{60} = 60. ] Таким образом, период вращения минутной стрелки в 60 раз больше, чем у секундной.

2. Линейные скорости концов стрелок

Линейная скорость (v) точки, движущейся по окружности, связана с её угловой скоростью (\omega) и радиусом (r) следующим образом: [ v = \omega \cdot r. ]

Угловая скорость ((\omega)) стрелок:

• Угловая скорость секундной стрелки: [ \omega{\text{секундной}} = \frac{2\pi}{T{\text{секундной}}} = \frac{2\pi}{60} \, \text{рад/с}. ]
• Угловая скорость минутной стрелки: [ \omega{\text{минутной}} = \frac{2\pi}{T{\text{минутной}}} = \frac{2\pi}{3600} \, \text{рад/с}. ]

Отношение угловых скоростей: [ \frac{\omega{\text{секундной}}}{\omega{\text{минутной}}} = \frac{\frac{2\pi}{60}}{\frac{2\pi}{3600}} = \frac{3600}{60} = 60. ] То есть угловая скорость секундной стрелки в 60 раз больше, чем угловая скорость минутной стрелки.

Линейная скорость ((v)) концов стрелок:

Линейная скорость также зависит от длины стрелки. По условию, длина минутной стрелки в 2 раза больше длины секундной, то есть: [ r{\text{минутной}} = 2 \cdot r{\text{секундной}}. ]

Линейная скорость секундной стрелки: [ v{\text{секундной}} = \omega{\text{секундной}} \cdot r{\text{секундной}}. ] Линейная скорость минутной стрелки: [ v{\text{минутной}} = \omega{\text{минутной}} \cdot r{\text{минутной}}. ]

Подставим угловые скорости и радиусы: [ v{\text{минутной}} = \left(\frac{\omega{\text{секундной}}}{60}\right) \cdot (2 \cdot r_{\text{секундной}}). ]

Теперь найдём отношение линейных скоростей: [ \frac{v{\text{секундной}}}{v{\text{минутной}}} = \frac{\omega{\text{секундной}} \cdot r{\text{секундной}}}{\left(\frac{\omega{\text{секундной}}}{60}\right) \cdot (2 \cdot r{\text{секундной}})} = \frac{60}{2} = 30. ]

Итог:

1. Линейная скорость секундной стрелки в 30 раз больше, чем минутной.
2. Период вращения минутной стрелки в 60 раз больше, чем секундной.