Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, происходящих согласно...

Траектория точки будет представлять собой эллипс с полуосями 2 см и 4 см. Направление движения точки будет против часовой стрелки.

Для определения траектории материальной точки, нужно выразить координаты x и y через время t и затем построить график зависимости y от x.

Из заданных уравнений: x = А1 cos(ω1t) y = А2 sin(ω2t)

Подставляем значения А1, ω1, А2, ω2: x = 2 cos(2t) y = 4 sin(2t)

Теперь найдем зависимость y от x: y = 4 sin(2t) x = 2 cos(2t)

Теперь построим график. Для этого выберем несколько значений времени t и найдем соответствующие значения координат x и y. Например, для t=0, t=π/4, t=π/2:

t=0: x = 2 cos(0) = 2 y = 4 sin(0) = 0

t=π/4: x = 2 cos(π/2) = 0 y = 4 sin(π/2) = 4

t=π/2: x = 2 cos(π) = -2 y = 4 sin(π) = 0

Таким образом, точка будет двигаться по эллипсу с полуосями 2 и 4, центр которого находится в начале координат. Направление движения точки будет против часовой стрелки.

Чтобы определить траекторию материальной точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, необходимо рассмотреть систему уравнений, заданных в условии:

[ x = A_1 \cos(\omega_1 t) ] [ y = A_2 \sin(\omega_2 t) ]

где ( A_1 = 2 ) см, ( \omega_1 = 2 ) с(^{-1}), ( A_2 = 4 ) см, ( \omega_2 = 2 ) с(^{-1}).

Анализ уравнений

1. Частоты колебаний: Поскольку (\omega_1 = \omega_2 = \omega), частоты одинаковы, что упрощает задачу. Это значит, что колебания синхронизированы по времени, и можно выразить ( t ) через угловую частоту: ( \omega t ).

2. Параметризация траектории: Подставим ( \omega_1 t = \omega_2 t = \omega t). Таким образом, получаем: [ x = A_1 \cos(\omega t) = 2 \cos(2t) ] [ y = A_2 \sin(\omega t) = 4 \sin(2t) ]

3. Уравнение траектории: Для получения явного вида траектории сведем уравнения к одной переменной. Используем тригонометрическую идентичность (\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1).

   [ \left(\frac{x}{A_1}\right)^2 + \left(\frac{y}{A_2}\right)^2 = \cos^2(\omega t) + \sin^2(\omega t) = 1 ]

   Подставляя значения амплитуд: [ \left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(\frac{y}{4}\right)^2 = 1 ]

   Это уравнение эллипса с полуосями ( a = 2 ) см и ( b = 4 ) см.

Построение траектории и направление движения

1. Построение эллипса:

   • Центр эллипса находится в начале координат (0,0).
   • Большая полуось ( b = 4 ) см расположена вдоль оси ( y ).
   • Малая полуось ( a = 2 ) см расположена вдоль оси ( x ).

2. Направление движения:

   • Поскольку ( x = A_1 \cos(\omega t) ) и ( y = A_2 \sin(\omega t) ), точка движется по эллипсу в направлении против часовой стрелки. Это можно понять, рассматривая изменение координат с увеличением времени ( t ):
     • Когда ( t = 0 ), ( x = 2 ) см, ( y = 0 ).
     • При ( t = \frac{\pi}{4} ), ( x ) уменьшается, ( y ) увеличивается, что соответствует движению против часовой стрелки.

Вывод

Траектория материальной точки представляет собой эллипс с полуосями 2 см и 4 см, расположенными вдоль осей ( x ) и ( y ) соответственно. Точка движется по эллипсу против часовой стрелки.