Математический маятник отклонили на небольшой угол и отпустили без толчка.Через промежуток времени t1 он оказался в положении равновесия( в точке О).Во втором случае его подняли до точки подвеса и свободно опустили (без толчка).Через промежуток времени t2 он также оказался в точке О.Сравните между собой промежутки времени t1 и t2 движения шарика.Ответ обоснуйте.
Давайте сначала разберем физическую модель математического маятника. Математический маятник представляет собой материальную точку (шарик) массой ( m ), подвешенную на невесомой нерастяжимой нити длиной ( L ). Движение такого маятника при малых отклонениях от положения равновесия можно описать как гармоническое колебание.
Для малых углов отклонения ( \theta ) (в радианах), уравнение движения маятника можно записать как: [ \theta(t) = \theta_0 \cos\left(\omega t + \varphi\right), ] где ( \theta_0 ) — амплитуда отклонения, ( \omega ) — угловая частота, ( t ) — время, и ( \varphi ) — начальная фаза.
Угловая частота ( \omega ) выражается через длину нити ( L ) и ускорение свободного падения ( g ): [ \omega = \sqrt{\frac{g}{L}}. ]
Период колебаний ( T ) (время одного полного цикла) определяется как: [ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}. ]
Теперь рассмотрим два случая:
Первый случай: Маятник отклонили на небольшой угол и отпустили без толчка.
В данном случае начальная фаза ( \varphi ) равна нулю или ( \pi ) (в зависимости от направления отклонения). Маятник движется по гармоническому закону начиная с некоторой амплитуды ( \theta_0 ). Промежуток времени ( t_1 ), за который маятник достигает положения равновесия (точка ( O )), составляет четверть периода ( T ): [ t_1 = \frac{T}{4} = \frac{1}{4} \cdot 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{L}{g}}. ]
Второй случай: Маятник подняли до точки подвеса и свободно опустили (без толчка).
При опускании маятник начнет движение из крайнего верхнего положения (где он находится в состоянии покоя) и пройдет через положение равновесия за время, равное половине периода ( T ): [ t_2 = \frac{T}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} = \pi \sqrt{\frac{L}{g}}. ]
Сравнение промежутков времени ( t_1 ) и ( t_2 ):
Из расчетов видно, что: [ t_1 = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{L}{g}} ] и [ t_2 = \pi \sqrt{\frac{L}{g}}. ]
Таким образом: [ t_2 = 2t_1. ]
Следовательно, промежуток времени ( t_2 ) в два раза больше промежутка времени ( t_1 ). Это объясняется тем, что в первом случае маятник проходит четверть периода, чтобы достичь точки ( O ), а во втором случае он проходит половину периода, чтобы достичь той же точки.
Промежутки времени t1 и t2 движения шарика будут равны. Это связано с тем, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды колебаний. Таким образом, временные интервалы t1 и t2 будут одинаковыми, если оба случая происходят с той же амплитудой колебаний.
Пусть в первом случае математический маятник отклонили на угол α и отпустили без начальной скорости. В этом случае период колебаний математического маятника равен: T = 2π√(l/g), где l - длина маятника, g - ускорение свободного падения.
После отклонения маятника на угол α он начинает колебаться относительно точки О, которая является положением равновесия. Так как через промежуток времени t1 маятник оказался в точке О, то можно сказать, что прошло одно полное колебание математического маятника. Следовательно, t1 = T.
Во втором случае маятник подняли до точки подвеса и отпустили без начальной скорости. В этом случае также можно найти период колебаний математического маятника по формуле T = 2π√(l/g). После отпускания маятника он начинает колебаться относительно точки О. Если через промежуток времени t2 маятник оказался в точке О, то можно сказать, что прошло одно полное колебание математического маятника. Следовательно, t2 = T.
Таким образом, промежутки времени t1 и t2 движения шарика будут равны, так как в обоих случаях происходит одно полное колебание математического маятника от точки максимального отклонения до точки равновесия.
