Маленький шарик падает вертикально вниз и ударяется о наклонную плоскость, потом отскакивает от нее...

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Дано:

1. Начальный импульс шарика перед ударом: ( p_1 = 4 \, \text{кг·м/с} );
2. Импульс шарика после удара: ( p_2 = 3 \, \text{кг·м/с} );
3. Удар меняет направление движения шарика: до удара - вертикально вниз, после удара - горизонтально.

Нам нужно найти модуль изменения импульса.

Шаг 1: Формула изменения импульса

Изменение импульса (\Delta \vec{p}) выражается как разность векторов импульса до и после удара: [ \Delta \vec{p} = \vec{p_2} - \vec{p_1}. ]

Так как импульсы имеют разные направления, будем считать их как векторы. Вектор импульса до удара направлен вертикально вниз (пусть это ось (y)), а вектор импульса после удара направлен горизонтально (пусть это ось (x)).

Шаг 2: Представление импульсов в векторной форме

1. До удара: ( \vec{p_1} = (0; -4) \, \text{кг·м/с} ), где (y)-компонента равна (-4), а (x)-компонента равна (0) (т.к. импульс направлен строго вниз).
2. После удара: ( \vec{p_2} = (3; 0) \, \text{кг·м/с} ), где (x)-компонента равна (3), а (y)-компонента равна (0) (т.к. импульс направлен строго горизонтально).

Шаг 3: Векторное изменение импульса

Находим разность векторов: [ \Delta \vec{p} = \vec{p_2} - \vec{p_1}. ] Подставим значения: [ \Delta \vec{p} = (3; 0) - (0; -4) = (3 - 0; 0 - (-4)) = (3; 4) \, \text{кг·м/с}. ]

Шаг 4: Модуль изменения импульса

Модуль изменения импульса — это длина вектора (\Delta \vec{p}), которую можно найти по теореме Пифагора: [ |\Delta \vec{p}| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2}. ] Посчитаем: [ |\Delta \vec{p}| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, \text{кг·м/с}. ]

Ответ:

Модуль изменения импульса равен: [ |\Delta \vec{p}| = 5 \, \text{кг·м/с}. ]

Чтобы найти модуль изменения импульса шарика в процессе удара о наклонную плоскость, нужно рассмотреть два момента: импульс шарика перед ударом и импульс после удара.

1. Импульс перед ударом: У нас есть импульс перед ударом, который равен ( \vec{p}_{1} = 4 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} ). Этот импульс направлен вертикально вниз.

2. Импульс после удара: После удара шарик отскакивает горизонтально, и его импульс равен ( \vec{p}_{2} = 3 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} ). Это означает, что импульс после удара направлен горизонтально.

Теперь, чтобы найти изменение импульса, нам нужно определить векторное изменение импульса:

[ \Delta \vec{p} = \vec{p}{2} - \vec{p}{1} ]

Так как импульс до удара ( \vec{p}_{1} ) направлен вниз, его можно записать как:

[ \vec{p}_{1} = 0 \, \hat{i} - 4 \, \hat{j} \, \text{(где } \hat{i} \text{ — горизонтальное направление, а } \hat{j} \text{ — вертикальное направление)} ]

Импульс после удара ( \vec{p}_{2} ) направлен горизонтально, и его можно записать как:

[ \vec{p}_{2} = 3 \, \hat{i} + 0 \, \hat{j} ]

Теперь подставляем эти значения в формулу для изменения импульса:

[ \Delta \vec{p} = (3 \, \hat{i} + 0 \, \hat{j}) - (0 \, \hat{i} - 4 \, \hat{j}) = 3 \, \hat{i} + 4 \, \hat{j} ]

Теперь найдем модуль изменения импульса:

[ |\Delta \vec{p}| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} ]

Таким образом, модуль изменения импульса шарика при ударе о наклонную плоскость составляет ( 5 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} ).