Кусок камня падает в воде с ускорением 5 м / с2. Плотность воды 1000 кг/ м3. Найти плотность камня....

Для решения задачи воспользуемся законом Архимеда и вторым законом Ньютона.

Дано:

• Ускорение падения камня в воде: ( a = 5 \, \text{м/с}^2 ),
• Плотность воды: ( \rho_{\text{в}} = 1000 \, \text{кг/м}^3 ),
• Ускорение свободного падения: ( g = 9.8 \, \text{м/с}^2 ).

Требуется найти плотность камня (( \rho_{\text{к}} )).

Анализ сил, действующих на камень

На камень в воде действуют две основные силы:

1. Сила тяжести (( F{\text{тяж}} )):
   [ F{\text{тяж}} = m \cdot g, ] где ( m ) — масса камня.

2. Сила Архимеда (( F{\text{арх}} )):
   [ F{\text{арх}} = \rho{\text{в}} \cdot V \cdot g, ] где ( V ) — объём камня, а ( \rho{\text{в}} ) — плотность воды.

Согласно второму закону Ньютона, результирующая сила, действующая на камень, равна произведению массы камня на его ускорение: [ F_{\text{рез}} = m \cdot a. ]

Результирующая сила — это разность между силой тяжести и силой Архимеда: [ F{\text{рез}} = F{\text{тяж}} - F_{\text{арх}}. ]

Подставим выражения для ( F{\text{тяж}} ) и ( F{\text{арх}} ): [ m \cdot a = m \cdot g - \rho_{\text{в}} \cdot V \cdot g. ]

Связь массы и объёма через плотность

Масса камня ( m ) связана с его плотностью ( \rho{\text{к}} ) и объёмом ( V ) как: [ m = \rho{\text{к}} \cdot V. ]

Подставим это в уравнение: [ \rho{\text{к}} \cdot V \cdot a = \rho{\text{к}} \cdot V \cdot g - \rho_{\text{в}} \cdot V \cdot g. ]

Сократим общий множитель ( V ) (объём камня не равен нулю): [ \rho{\text{к}} \cdot a = \rho{\text{к}} \cdot g - \rho_{\text{в}} \cdot g. ]

Перенесём члены с ( \rho{\text{к}} ) в одну сторону: [ \rho{\text{к}} \cdot (g - a) = \rho_{\text{в}} \cdot g. ]

Выразим плотность камня ( \rho{\text{к}} ): [ \rho{\text{к}} = \frac{\rho_{\text{в}} \cdot g}{g - a}. ]

Подставим значения

[ \rho_{\text{к}} = \frac{1000 \cdot 9.8}{9.8 - 5}. ]

Вычислим знаменатель: [ 9.8 - 5 = 4.8. ]

Теперь найдём числитель: [ 1000 \cdot 9.8 = 9800. ]

Плотность камня: [ \rho_{\text{к}} = \frac{9800}{4.8} \approx 2041.67 \, \text{кг/м}^3. ]

Ответ:

Плотность камня составляет примерно 2042 ( \text{кг/м}^3 ).

Для решения задачи о падении камня в воду можно использовать второй закон Ньютона и понятие силы архимеда, которая действует на тело, погруженное в жидкость.

Дано:

• Ускорение камня ( a = 5 \, \text{м/с}^2 )
• Плотность воды ( \rho_{\text{воды}} = 1000 \, \text{кг/м}^3 )

Исходные данные:

Пусть:

• ( V ) — объем камня
• ( m ) — масса камня
• ( \rho_{\text{камня}} ) — плотность камня

Связь между массой и плотностью:

Согласно определению плотности, масса камня выражается как: [ m = \rho_{\text{камня}} \cdot V ]

Сила тяжести:

Сила тяжести, действующая на камень, равна: [ F{\text{т}} = m \cdot g = \rho{\text{камня}} \cdot V \cdot g ] где ( g ) — ускорение свободного падения (приблизительно ( 9.81 \, \text{м/с}^2 )).

Сила архимеда:

Сила архимеда, действующая на камень, равна весу вытесненной воды: [ F{\text{арх}} = \rho{\text{воды}} \cdot V \cdot g ]

Уравнение движения:

По второму закону Ньютона, для камня, падающего в воду, можно записать: [ F{\text{т}} - F{\text{арх}} = m \cdot a ] Подставляем выражения для сил: [ \rho{\text{камня}} \cdot V \cdot g - \rho{\text{воды}} \cdot V \cdot g = \rho_{\text{камня}} \cdot V \cdot a ]

Упрощение уравнения:

Сократим объем ( V ) (при условии, что он не равен нулю): [ \rho{\text{камня}} \cdot g - \rho{\text{воды}} \cdot g = \rho_{\text{камня}} \cdot a ]

Упрощаем уравнение: [ \rho{\text{камня}} \cdot g - 1000 \cdot g = \rho{\text{камня}} \cdot 5 ]

Переносим все члены с ( \rho_{\text{камня}} ) в одну сторону:

[ \rho{\text{камня}} \cdot g - \rho{\text{камня}} \cdot 5 = 1000 \cdot g ] [ \rho_{\text{камня}} (g - 5) = 1000 \cdot g ]

Находим плотность камня:

[ \rho_{\text{камня}} = \frac{1000 \cdot g}{g - 5} ]

Подставляем значение ( g ):

Используя ( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 ): [ \rho{\text{камня}} = \frac{1000 \cdot 9.81}{9.81 - 5} ] [ \rho{\text{камня}} = \frac{9810}{4.81} \approx 2036.4 \, \text{кг/м}^3 ]

Ответ:

Плотность камня составляет примерно ( 2036.4 \, \text{кг/м}^3 ).