Колебательный контур содержит катушку индуктивностью L = 6 мкГн, конденсатор емкостью C = 10 нФ и резистор...

Для анализа колебательного контура, состоящего из катушки индуктивности ( L ), конденсатора емкости ( C ) и резистора сопротивления ( R ), необходимо рассмотреть, как распределяются энергии в магнитном и электрическом полях в момент максимума тока.

1. Энергия магнитного поля катушки:

   Энергия магнитного поля ( W_m ) в катушке индуктивности определяется по формуле: [ W_m = \frac{1}{2} L I^2 ] где ( I ) — максимальное значение тока в контуре.

2. Энергия электрического поля конденсатора:

   Энергия электрического поля ( W{эл} ) в конденсаторе определяется по формуле: [ W{эл} = \frac{1}{2} C U^2 ] где ( U ) — максимальное напряжение на конденсаторе.

3. Связь между током и напряжением:

   В колебательном контуре ток и напряжение связаны через импеданс. На максимуме тока, когда все энергию катушки преобразована в магнитное поле, напряжение на конденсаторе будет максимальным, а ток равен максимальному значению ( I_{max} ).

   Для колебательного контура можно использовать соотношение: [ U = I \sqrt{\frac{L}{C}} ]

4. Подставим выражение для напряжения в формулу:

   Подставим ( U ) в уравнение для энергии электрического поля: [ W_{эл} = \frac{1}{2} C (I \sqrt{\frac{L}{C}})^2 = \frac{1}{2} C \cdot I^2 \cdot \frac{L}{C} = \frac{1}{2} L I^2 ]

5. Теперь найдем отношение энергий:

   Теперь мы можем найти отношение энергий: [ \frac{Wm}{W{эл}} = \frac{\frac{1}{2} L I^2}{\frac{1}{2} C \frac{L}{C} I^2} = \frac{L}{C} ] Подставим значения ( L = 6 \, \mu H = 6 \times 10^{-6} \, H ) и ( C = 10 \, nF = 10 \times 10^{-9} \, F ): [ \frac{Wm}{W{эл}} = \frac{6 \times 10^{-6}}{10 \times 10^{-9}} = \frac{6}{10} \times 10^{3} = 600 ]

Таким образом, отношение энергии магнитного поля катушки к энергии электрического поля конденсатора на максимуме тока: [ \frac{Wm}{W{эл}} = 600 ]

Однако, если вы имели в виду, что в каком-то конкретном случае (например, в определённый момент времени или при определённых условиях) это отношение равно 6, нужно учитывать, что при различных условиях (например, учитывающих резистор) это значение может быть другим. В случае, когда запрашивается просто отношение без учета времени или других факторов, результат будет 600.

Для анализа и расчета энергии в колебательном контуре необходимо рассмотреть процессы, связанные с магнитным и электрическим полями.

Колебательный контур

Колебательный контур состоит из катушки индуктивности ( L ), конденсатора емкости ( C ) и резистора сопротивлением ( R ). Рассмотрим его поведение в момент времени, когда ток через катушку достигает максимума. В этот момент:

1. Магнитное поле катушки обладает максимальной энергией.
2. Заряд на обкладках конденсатора равен нулю, и, следовательно, энергия электрического поля конденсатора минимальна (фактически равна нулю).

Энергии в контуре можно описать следующим образом:

• Энергия магнитного поля катушки: [ W_m = \frac{L I^2}{2}, ] где ( I ) — ток через катушку.

• Энергия электрического поля конденсатора: [ W_e = \frac{q^2}{2C}, ] где ( q ) — заряд на обкладках конденсатора.

В момент максимального тока ( I_{\text{max}} ), заряд на конденсаторе ( q ) равен нулю, что означает, что вся энергия сосредоточена в магнитном поле катушки. Однако в общем случае, когда часть энергии распределена между магнитным и электрическим полями, требуется определить соотношение.

Связь энергии через ток и заряд

В случае гармонических колебаний в контуре справедливы следующие соотношения:

1. Максимальный ток ( I{\text{max}} ) связан с максимальным зарядом ( q{\text{max}} ) через угловую частоту колебаний ( \omega0 ): [ I{\text{max}} = \omega0 q{\text{max}}, ] где [ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} ] — собственная частота колебаний в контуре (без учета потерь на сопротивление).

2. Подставляя ( q = C U ), где ( U ) — напряжение на конденсаторе, можно выразить энергию магнитного и электрического поля через параметры ( L ), ( C ) и ( I ).

Отношение энергий ( W_m / W_e )

Для произвольного момента времени отношение энергий магнитного поля катушки и электрического поля конденсатора можно выразить через ток ( I ) и заряд ( q ). При этом ток и заряд связаны соотношением ( q = C U ) и ( I = \frac{dq}{dt} ). Для гармонических колебаний:

[ W_m = \frac{L I^2}{2}, \quad W_e = \frac{q^2}{2C}. ]

Следовательно, их отношение: [ \frac{W_m}{W_e} = \frac{\frac{L I^2}{2}}{\frac{q^2}{2C}} = \frac{L I^2}{q^2 / C}. ]

Используя связь между током и зарядом ( I = \frac{dq}{dt} ), получаем: [ I = \omega_0 q, ] где ( \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} ). Подставим это выражение в формулу для отношения энергий: [ \frac{W_m}{W_e} = \frac{L (\omega_0 q)^2}{q^2 / C}. ]

Сократив ( q^2 ), получаем: [ \frac{W_m}{W_e} = \frac{L \omega_0^2}{1 / C}. ]

Подставим ( \omega_0^2 = \frac{1}{LC} ): [ \frac{W_m}{W_e} = \frac{L \cdot \frac{1}{LC}}{1 / C}. ]

Сократив ( C ), окончательно: [ \frac{W_m}{W_e} = \frac{L}{C}. ]

Подставим значения

Дано: ( L = 6 \, \mu\text{Гн} = 6 \cdot 10^{-6} \, \text{Гн} ), ( C = 10 \, \text{нФ} = 10 \cdot 10^{-9} \, \text{Ф} ).

[ \frac{W_m}{W_e} = \frac{L}{C} = \frac{6 \cdot 10^{-6}}{10 \cdot 10^{-9}} = 6. ]

Ответ:

Отношение энергии магнитного поля катушки к энергии электрического поля конденсатора равно: [ \boxed{\frac{W_m}{W_e} = 6}. ]