Какое из нижеприведенных выражений определяет значение первой космической скорости спутника, если радиус его круговой орбиты R, а ускорение свободного падения на этой высоте g?
Какое из нижеприведенных выражений определяет значение первой космической скорости спутника, если радиус его круговой орбиты R, а ускорение свободного падения на этой высоте g?
Первая космическая скорость спутника определяется по формуле ( v = \sqrt{\frac{GM}{R}} ), где G - гравитационная постоянная (6,67430 x 10^-11 м³·кг^-1·с^-2), M - масса планеты, вокруг которой движется спутник, R - радиус круговой орбиты спутника. Данное выражение учитывает ускорение свободного падения на данной высоте, так как оно зависит от массы планеты и радиуса орбиты спутника.
Первая космическая скорость — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить объекту, чтобы он мог двигаться по круговой орбите вокруг планеты (или другого массивного тела) без дополнительного ускорения. Для Земли эта скорость составляет примерно 7,9 км/с на уровне моря.
При выводе формулы для первой космической скорости мы исходим из условия равенства центробежной силы и силы гравитации, действующей на спутник.
Центробежная сила, действующая на спутник массой (m), движущийся с орбитальной скоростью (v) по круговой орбите радиуса (R), определяется выражением: [ F_{\text{центробежная}} = \frac{mv^2}{R} ]
Сила гравитации, действующая на спутник той же массой (m), находится по закону всемирного тяготения Ньютона: [ F_{\text{гравитационная}} = mg ]
Для того чтобы спутник находился в устойчивой круговой орбите, центробежная сила должна быть равна силе гравитации: [ \frac{mv^2}{R} = mg ]
При сокращении массы (m) из обеих частей уравнения, мы получаем: [ \frac{v^2}{R} = g ]
Умножим обе части уравнения на (R): [ v^2 = gR ]
И извлечем квадратный корень из обеих частей: [ v = \sqrt{gR} ]
Таким образом, первая космическая скорость (v) спутника, движущегося по круговой орбите радиуса (R) на высоте, где ускорение свободного падения равно (g), определяется формулой: [ v = \sqrt{gR} ]
Эта формула показывает, что первая космическая скорость зависит от ускорения свободного падения на данной высоте и радиуса орбиты. Важно отметить, что ускорение свободного падения (g) также зависит от высоты над поверхностью Земли, и оно уменьшается с увеличением высоты.
