К бруску массой 1 кг, находящемуся на гладкой горизонтальной поверхности, прикреплены две пружины (рис. 3.20). Жёсткость правой пружины 2 • 103 Н/м, левой — в 2 раза меньше. Чему равно отношение удлинений пружин в случае, когда брусок неподвижен?
К бруску массой 1 кг, находящемуся на гладкой горизонтальной поверхности, прикреплены две пружины (рис. 3.20). Жёсткость правой пружины 2 • 103 Н/м, левой — в 2 раза меньше. Чему равно отношение удлинений пружин в случае, когда брусок неподвижен?
Для того чтобы найти отношение удлинений пружин, когда брусок неподвижен, можно воспользоваться законом Гука для каждой из пружин.
По закону Гука сила упругости пружины прямо пропорциональна удлинению этой пружины: F = kx где F - сила упругости, k - жёсткость пружины, x - удлинение пружины.
Сумма упругих сил, действующих на брусок, должна быть равна нулю, так как брусок неподвижен: k1x1 + k2x2 = 0 где k1 и k2 - жёсткости правой и левой пружин соответственно, x1 и x2 - удлинения правой и левой пружин.
Так как k2 = k1/2, то уравнение примет вид: k1x1 + (k1/2)x2 = 0 2x1 + x2 = 0 x2 = -2x1
Отношение удлинений пружин в данном случае равно -2, что означает, что левая пружина удлиняется в два раза больше, чем правая пружина.
Отношение удлинений пружин равно квадратному корню из отношения жёсткостей пружин: √(2) = √2 ≈ 1.41.
Чтобы найти отношение удлинений пружин, когда брусок неподвижен, сначала рассмотрим условия задачи и свойства пружин.
У нас есть две пружины с разной жесткостью, прикрепленные к бруску массой 1 кг, который находится на гладкой горизонтальной поверхности. Жесткость (коэффициент упругости) правой пружины равна ( k_2 = 2 \times 10^3 ) Н/м, а жесткость левой пружины ( k_1 ) в два раза меньше, то есть ( k_1 = \frac{1}{2}k_2 = 10^3 ) Н/м.
Когда брусок неподвижен, силы, действующие на него со стороны обеих пружин, должны быть равны и направлены в противоположные стороны. Это условие равновесия можно записать следующим образом:
[ F_1 = F_2 ]
Где ( F_1 ) — сила, действующая со стороны левой пружины, и ( F_2 ) — сила, действующая со стороны правой пружины. Согласно закону Гука, сила упругости пружины пропорциональна её удлинению:
[ F_1 = k_1 x_1 ] [ F_2 = k_2 x_2 ]
Здесь ( x_1 ) и ( x_2 ) — удлинения левой и правой пружин соответственно. Подставим значения жесткостей пружин в уравнение равновесия:
[ k_1 x_1 = k_2 x_2 ]
Теперь подставим известные значения жесткостей:
[ 10^3 x_1 = 2 \times 10^3 x_2 ]
Сократим обе стороны на ( 10^3 ):
[ x_1 = 2 x_2 ]
Таким образом, отношение удлинений левой и правой пружин ( \frac{x_1}{x_2} ) будет:
[ \frac{x_1}{x_2} = 2 ]
Это означает, что удлинение левой пружины в два раза больше удлинения правой пружины, когда брусок находится в равновесии и неподвижен.
