Груз массой М=5кг связан нерастяжимой нитью, перекинутой через неподвижный блок, с другим грузом массой...

Для решения задачи будем рассматривать систему грузов и силы, действующие на них. У нас есть два груза: ( M = 5 \, \text{кг} ) и ( m = 2 \, \text{кг} ). Груз ( M ) висит вертикально, а груз ( m ) находится на наклонной плоскости с углом наклона ( \alpha = 30^\circ ).

Силы, действующие на грузы

1. Для груза ( M ):

   • Сила тяжести: ( F_{g1} = M \cdot g = 5 \cdot 9.81 \approx 49.05 \, \text{Н} ) (где ( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 )).
   • Сила натяжения нити: ( T ).

   Уравнение движения для груза ( M ): [ M \cdot a = F_{g1} - T ] или [ 5a = 49.05 - T \quad (1) ]

2. Для груза ( m ):

   • Сила тяжести: ( F_{g2} = m \cdot g = 2 \cdot 9.81 \approx 19.62 \, \text{Н} ).
   • Компонента силы тяжести, действующая вдоль наклонной плоскости: ( F{g2 \parallel} = F{g2} \cdot \sin(\alpha) = 19.62 \cdot \sin(30^\circ) = 19.62 \cdot 0.5 \approx 9.81 \, \text{Н} ).
   • Сила нормальной реакции: ( N = F_{g2} \cdot \cos(\alpha) = 19.62 \cdot \cos(30^\circ) \approx 19.62 \cdot 0.866 \approx 16.99 \, \text{Н} ).
   • Сила натяжения нити: ( T ).

   Уравнение движения для груза ( m ): [ m \cdot a = T - F_{g2 \parallel} ] или [ 2a = T - 9.81 \quad (2) ]

Система уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2):

1. ( 5a = 49.05 - T )
2. ( 2a = T - 9.81 )

Подставим ( T ) из второго уравнения в первое. Из уравнения (2) выразим ( T ): [ T = 2a + 9.81 ] Подставим это выражение в (1): [ 5a = 49.05 - (2a + 9.81) ] Упрощаем: [ 5a = 49.05 - 2a - 9.81 ] [ 5a + 2a = 49.05 - 9.81 ] [ 7a = 39.24 ] [ a = \frac{39.24}{7} \approx 5.604 \, \text{м/с}^2 ]

Найдем силу натяжения нити

Теперь подставим найденное значение ускорения ( a ) обратно в одно из уравнений, чтобы найти ( T ). Подставим в уравнение (2): [ 2a = T - 9.81 ] [ T = 2 \cdot 5.604 + 9.81 \approx 11.208 + 9.81 \approx 21.018 \, \text{Н} ]

Ответ

Таким образом, ускорение грузов составляет примерно ( a \approx 5.604 \, \text{м/с}^2 ), а сила натяжения нити ( T \approx 21.018 \, \text{Н} ).

Давайте подробно разберем задачу.

Дано:

1. Масса груза ( M = 5 \, \text{кг} );
2. Масса груза ( m = 2 \, \text{кг} );
3. Угол наклона плоскости ( \alpha = 30^\circ );
4. Нить нерастяжимая, блок неподвижный;
5. Трение отсутствует;
6. Ускорение свободного падения ( g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2 ).

Нужно найти:

1. Ускорение системы ( a );
2. Силу натяжения нити ( T ).

Подход к решению:

Система состоит из двух грузов:

• Груз ( M ) подвешен вертикально.
• Груз ( m ) находится на наклонной плоскости.

Груз ( M ) стремится тянуть систему вниз под действием силы тяжести ( M g ), а груз ( m ) тянет нить вверх по наклонной плоскости за счет компоненты своей силы тяжести ( m g \sin \alpha ). Поскольку система связана нерастяжимой нитью, оба груза имеют одинаковое ускорение ( a ).

Шаг 1. Запишем уравнения движения для каждого груза.

Для груза ( M ) (подвешенный груз):

Сила тяжести ( M g ) тянет груз вниз, а сила натяжения нити ( T ) противодействует этому движению. Уравнение второго закона Ньютона для этого груза: [ M g - T = M a, \tag{1} ] где ( a ) — ускорение груза.

Для груза ( m ) (на наклонной плоскости):

На груз действует сила тяжести, которая раскладывается на две компоненты:

• Сила, направленная вдоль наклонной плоскости: ( m g \sin \alpha );
• Сила, направленная перпендикулярно плоскости: ( m g \cos \alpha ) (она компенсируется нормальной реакцией опоры).

Поскольку трения нет, единственные силы, влияющие на движение груза вдоль наклонной плоскости, — это сила натяжения нити ( T ) (тянет вверх) и компонент силы тяжести ( m g \sin \alpha ) (тянет вниз). Уравнение движения: [ T - m g \sin \alpha = m a. \tag{2} ]

Шаг 2. Решим систему уравнений.

У нас есть две основные зависимости:

1. ( M g - T = M a ) (из уравнения для груза ( M ));
2. ( T - m g \sin \alpha = m a ) (из уравнения для груза ( m )).

Сложим оба уравнения, чтобы избавиться от силы натяжения ( T ): [ (M g - T) + (T - m g \sin \alpha) = M a + m a. ] Упростим: [ M g - m g \sin \alpha = (M + m) a. ]

Выразим ускорение ( a ): [ a = \frac{M g - m g \sin \alpha}{M + m}. \tag{3} ]

Подставим численные значения:

• ( M = 5 \, \text{кг} );
• ( m = 2 \, \text{кг} );
• ( g = 9.8 \, \text{м/с}^2 );
• ( \sin 30^\circ = 0.5 ).

Тогда: [ a = \frac{5 \cdot 9.8 - 2 \cdot 9.8 \cdot 0.5}{5 + 2}. ] Выполним вычисления: [ a = \frac{49 - 9.8}{7} = \frac{39.2}{7} \approx 5.6 \, \text{м/с}^2. ]

Итак, ускорение системы: [ a \approx 5.6 \, \text{м/с}^2. ]

Шаг 3. Найдем силу натяжения нити ( T ).

Подставим ( a ) в одно из первоначальных уравнений, например, в ( M g - T = M a ): [ T = M g - M a. ] Подставим численные значения: [ T = 5 \cdot 9.8 - 5 \cdot 5.6. ] Выполним вычисления: [ T = 49 - 28 = 21 \, \text{Н}. ]

Итак, сила натяжения нити: [ T = 21 \, \text{Н}. ]

Ответ:

1. Ускорение системы: ( a \approx 5.6 \, \text{м/с}^2 );
2. Сила натяжения нити: ( T = 21 \, \text{Н} ).

Для решения задачи применим второй закон Ньютона и уравнение движения для каждого груза.

1. Для груза массой ( M = 5 ) кг, который движется вниз: [ M \cdot g - T = M \cdot a ] где ( g ) — ускорение свободного падения (приблизительно ( 9.81 \, \text{м/с}^2 )), ( T ) — сила натяжения нити, ( a ) — ускорение.

2. Для груза массой ( m = 2 ) кг, который движется вверх по наклонной плоскости с углом ( 30^\circ ): [ T - m \cdot g \cdot \sin(30^\circ) = m \cdot a ] где ( \sin(30^\circ) = 0.5 ).

Теперь подставим ( g ) и значения масс:

1. Для груза ( M ): [ 5 \cdot 9.81 - T = 5a \quad (1) ]

2. Для груза ( m ): [ T - 2 \cdot 9.81 \cdot 0.5 = 2a \quad (2) ]

Теперь упростим уравнения:

(1) становится: [ 49.05 - T = 5a \quad (3) ]

(2) становится: [ T - 9.81 = 2a \quad (4) ]

Теперь сложим уравнения (3) и (4): [ 49.05 - T + T - 9.81 = 5a + 2a ] [ 39.24 = 7a ] [ a = \frac{39.24}{7} \approx 5.6 \, \text{м/с}^2 ]

Теперь подставим значение ( a ) в одно из уравнений для нахождения ( T ). Подставим ( a ) в (4): [ T - 9.81 = 2 \cdot 5.6 ] [ T - 9.81 = 11.2 ] [ T = 11.2 + 9.81 \approx 21.01 \, \text{Н} ]

Итак, ускорение грузов ( a \approx 5.6 \, \text{м/с}^2 ) и сила натяжения нити ( T \approx 21.01 \, \text{Н} ).