Гиря массой 0,5 кг падает с некоторой высоты на плиту массой 1 кг, укрепленную на пружине жесткостью...

Для решения задачи используем закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.

1. Сначала находим скорость системы после удара. Обозначим массу гири как ( m_1 = 0.5 \, \text{кг} ) и массу плиты как ( m_2 = 1 \, \text{кг} ). Скорость гири перед ударом ( v_1 = 5 \, \text{м/с} ), скорость плиты перед ударом ( v_2 = 0 ).

Импульс до удара равен:

[ p_{initial} = m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0.5 \cdot 5 + 1 \cdot 0 = 2.5 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} ]

После неупругого удара скорости ( v ) у них одинаковы:

[ p_{final} = (m_1 + m_2) v ]

Приравниваем импульсы:

[ 2.5 = (0.5 + 1) v \implies 2.5 = 1.5 v \implies v = \frac{2.5}{1.5} \approx 1.67 \, \text{м/с} ]

1. Теперь находим максимальное сжатие пружины. При максимальном сжатии пружины вся кинетическая энергия системы превращается в потенциальную энергию пружины.

Кинетическая энергия системы до сжатия:

[ E_k = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 = \frac{1}{2} \cdot 1.5 \cdot (1.67)^2 \approx 1.25 \, \text{Дж} ]

Потенциальная энергия пружины:

[ E_p = \frac{1}{2} k x^2 ]

где ( k = 980 \, \text{Н/м} ), ( x ) — максимальное сжатие пружины. Приравняем энергии:

[ \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 ]

Подставим известные значения:

[ \frac{1}{2} \cdot 980 \cdot x^2 = 1.25 ]

Упрощаем:

[ 490 x^2 = 1.25 \implies x^2 = \frac{1.25}{490} \implies x^2 \approx 0.00255 \implies x \approx 0.0505 \, \text{м} \approx 5.05 \, \text{см} ]

Таким образом, максимальное сжатие пружины составляет примерно ( 5.05 \, \text{см} ).

Для решения задачи рассмотрим её поэтапно. При неупругом ударе гиря и плита движутся вместе после удара. Затем они сжимают пружину, и максимальное сжатие пружины соответствует моменту, когда вся кинетическая энергия системы переходит в потенциальную энергию пружины.

Дано:

• Масса гири: ( m_1 = 0,5 \, \text{кг} ),
• Масса плиты: ( m_2 = 1 \, \text{кг} ),
• Жёсткость пружины: ( k = 980 \, \text{Н/м} ),
• Скорость гири перед ударом: ( v_1 = 5 \, \text{м/с} ).

Требуется найти максимальное сжатие пружины ( x_\text{max} ).

Этап 1. Определение скорости системы после удара

Так как удар неупругий, после удара гиря и плита движутся вместе с общей скоростью ( v_\text{система} ). Используем закон сохранения импульса:

[ m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m2) v\text{система}. ]

Учитывая, что плита до удара покоится (( v_2 = 0 )):

[ 0,5 \cdot 5 + 1 \cdot 0 = (0,5 + 1) v_\text{система}. ]

[ v_\text{система} = \frac{0,5 \cdot 5}{0,5 + 1} = \frac{2,5}{1,5} = \frac{5}{3} \, \text{м/с}. ]

Этап 2. Переход кинетической энергии системы в потенциальную энергию пружины

После удара гиря и плита движутся вместе, сжимая пружину. В момент максимального сжатия вся кинетическая энергия системы переходит в потенциальную энергию пружины. Используем закон сохранения энергии:

[ \frac{1}{2} (m_1 + m2) v\text{система}^2 = \frac{1}{2} k x_\text{max}^2. ]

Подставим известные значения:

[ \frac{1}{2} (0,5 + 1) \left( \frac{5}{3} \right)^2 = \frac{1}{2} \cdot 980 \cdot x_\text{max}^2. ]

Сначала упростим левую часть: [ \frac{1}{2} \cdot 1,5 \cdot \left( \frac{5}{3} \right)^2 = 0,75 \cdot \frac{25}{9} = \frac{18,75}{9} = 2,083 \, \text{Дж}. ]

Теперь уравнение принимает вид: [ 2,083 = \frac{1}{2} \cdot 980 \cdot x_\text{max}^2. ]

Упростим: [ 2,083 = 490 \cdot x_\text{max}^2. ]

Разделим обе части на 490: [ x_\text{max}^2 = \frac{2,083}{490} \approx 0,00425. ]

Найдём ( x\text{max} ): [ x\text{max} = \sqrt{0,00425} \approx 0,065 \, \text{м}. ]

Ответ:

Максимальное сжатие пружины составляет ( x_\text{max} \approx 0,065 \, \text{м} ) (или 6,5 см).

Для решения задачи рассмотрим процесс падения гири на плиту и ее взаимодействие с пружиной. Поскольку удар считается неупругим, гиря и плита будут двигаться вместе после удара.

1. Определим импульс системы до удара:

   Масса гири ( m_1 = 0,5 \, \text{кг} ), скорость гири ( v_1 = 5 \, \text{м/с} ). Масса плиты ( m_2 = 1 \, \text{кг} ), скорость плиты до удара ( v_2 = 0 \, \text{м/с} ).

   Импульс системы до удара: [ p_{\text{до}} = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = 0,5 \cdot 5 + 1 \cdot 0 = 2,5 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}. ]

2. Определим общую массу системы после удара: [ m = m_1 + m_2 = 0,5 + 1 = 1,5 \, \text{кг}. ]

3. Определим скорость системы после удара с использованием закона сохранения импульса: Импульс после удара ( p_{\text{после}} = m \cdot v_f ), где ( v_f ) — скорость системы после удара.

   Приравняем импульсы: [ p{\text{до}} = p{\text{после}} \Rightarrow 2,5 = 1,5 \cdot v_f. ] [ v_f = \frac{2,5}{1,5} \approx 1,67 \, \text{м/с}. ]

4. Определим кинетическую энергию системы после удара: Кинетическая энергия ( K ) будет выражаться как: [ K = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} \cdot 1,5 \cdot (1,67)^2 \approx \frac{1}{2} \cdot 1,5 \cdot 2,7889 \approx 2,08 \, \text{Дж}. ]

5. Определим максимальное сжатие пружины: В момент максимального сжатия пружины вся кинетическая энергия системы будет преобразована в потенциальную энергию пружины. Потенциальная энергия пружины ( U ) определяется как: [ U = \frac{1}{2} k x^2, ] где ( k = 980 \, \text{Н/м} ) — жесткость пружины, ( x ) — максимальное сжатие пружины.

   Приравняем кинетическую энергию к потенциальной: [ K = U \Rightarrow 2,08 = \frac{1}{2} \cdot 980 \cdot x^2. ] Упрощая уравнение: [ 2,08 = 490 x^2 \Rightarrow x^2 = \frac{2,08}{490} \approx 0,00424. ] [ x \approx \sqrt{0,00424} \approx 0,065 \, \text{м} \approx 6,5 \, \text{см}. ]

Таким образом, максимальное сжатие пружины составляет приблизительно 6,5 см.