Две одинаковые гладкие, упругие шайбы движутся по гладкой горизонтальной поверхности навстречу друг...

Вопрос о столкновении двух одинаковых гладких упругих шайб на горизонтальной поверхности является классической задачей в физике, которая рассматривается в рамках законов сохранения импульса и энергии.

Дано:

1. Две шайбы имеют одинаковую массу ( m ).
2. Скорости шайб до столкновения: первая шайба движется со скоростью ( V ), вторая — со скоростью ( 2V ).
3. Столкновение упругое и происходит на гладкой горизонтальной поверхности (т.е. без трения).

Требуется найти:

Отношение кинетических энергий шайб после удара.

Решение:

В случае упругого столкновения сохраняются как импульс, так и кинетическая энергия системы.

Сохранение импульса:

Импульс системы до столкновения равен сумме импульсов обеих шайб: [ p_{\text{до}} = mV + m(-2V) = -mV ]

Импульс системы после столкновения также должен быть равен ( -mV ): [ p_{\text{после}} = mV_1' + mV_2' = mV_1' + mV_2' ]

Сохранение кинетической энергии:

Кинетическая энергия системы до столкновения: [ E_{\text{до}} = \frac{1}{2}mV^2 + \frac{1}{2}m(2V)^2 = \frac{1}{2}mV^2 + 2mV^2 = \frac{5}{2}mV^2 ]

Кинетическая энергия системы после столкновения: [ E_{\text{после}} = \frac{1}{2}mV_1'^2 + \frac{1}{2}mV_2'^2 ]

Используя закон сохранения импульса и кинетической энергии, можно решить систему уравнений для скоростей после столкновения ( V_1' ) и ( V_2' ).

Решение системы уравнений:

1. ( mV_1' + mV_2' = -mV )
2. ( \frac{1}{2}mV_1'^2 + \frac{1}{2}mV_2'^2 = \frac{5}{2}mV^2 )

Для упрощения, можно перейти в центр масс системы и использовать относительные скорости. В системе центра масс относительные скорости шайб меняются на противоположные после столкновения.

Скорость центра масс: [ V_{\text{ЦМ}} = \frac{mV + m(-2V)}{2m} = -\frac{V}{2} ]

Скорости относительно центра масс:

• Для первой шайбы: ( V - (-\frac{V}{2}) = \frac{3V}{2} )
• Для второй шайбы: ( -2V - (-\frac{V}{2}) = -\frac{3V}{2} )

После столкновения в системе центра масс:

• Первая шайба будет иметь скорость ( -\frac{3V}{2} )
• Вторая шайба будет иметь скорость ( \frac{3V}{2} )

Переходя обратно к лабораторной системе отсчета:

• ( V1' = -\frac{3V}{2} + V{\text{ЦМ}} = -\frac{3V}{2} - \frac{V}{2} = -2V )
• ( V2' = \frac{3V}{2} + V{\text{ЦМ}} = \frac{3V}{2} - \frac{V}{2} = V )

Таким образом, скорости после столкновения:

• Первая шайба: ( V_1' = -2V )
• Вторая шайба: ( V_2' = V )

Соответствующие кинетические энергии после столкновения:

• Первая шайба: ( E_1' = \frac{1}{2}m(-2V)^2 = 2mV^2 )
• Вторая шайба: ( E_2' = \frac{1}{2}m(V)^2 = \frac{1}{2}mV^2 )

Отношение кинетических энергий шайб после удара: [ \frac{E_1'}{E_2'} = \frac{2mV^2}{\frac{1}{2}mV^2} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4 ]

Ответ:

Отношение кинетических энергий шайб после удара равно 4.

Пусть масса каждой шайбы равна m. После удара шайбы сомкнутся и будут двигаться как одно целое со скоростью V'. По закону сохранения импульса:

m V + 2m 2V = 3m * V'

V' = (m V + 2m 2V) / 3m = (V + 4V) / 3 = 5V / 3

Таким образом, после удара шайбы будут двигаться со скоростью 5V / 3. Кинетическая энергия шайб после удара будет равна:

K = (3m V'^2) / 2 = (3m (5V / 3)^2) / 2 = 25mV^2 / 6

Отношение кинетической энергии шайб после удара к суммарной кинетической энергии до удара:

K / (m V^2 + 2m (2V)^2) = (25mV^2 / 6) / (mV^2 + 8mV^2) = (25 / 6) / 9 = 25 / 54

Таким образом, отношение кинетической энергии шайб после удара к суммарной кинетической энергии до удара равно 25/54.