Две одинаковые гладкие, упругие шайбы движутся по гладкой горизонтальной поверхности навстречу друг...

Вопрос о столкновении двух одинаковых гладких упругих шайб на горизонтальной поверхности является классической задачей в физике, которая рассматривается в рамках законов сохранения импульса и энергии.

Дано:

1. Две шайбы имеют одинаковую массу $m$.
2. Скорости шайб до столкновения: первая шайба движется со скоростью $V$, вторая — со скоростью $2V$.
3. Столкновение упругое и происходит на гладкой горизонтальной поверхности $т.е.безтрения$.

Требуется найти:

Отношение кинетических энергий шайб после удара.

Решение:

В случае упругого столкновения сохраняются как импульс, так и кинетическая энергия системы.

Сохранение импульса:

Импульс системы до столкновения равен сумме импульсов обеих шайб: $p_{\text{до}}=mV+m(-2V)=-mV$

Импульс системы после столкновения также должен быть равен $-mV$: $p_{\text{после}}=m{V}_1^{\prime }+m{V}_2^{\prime }=m{V}_1^{\prime }+m{V}_2^{\prime }$

Сохранение кинетической энергии:

Кинетическая энергия системы до столкновения: $E_{\text{до}}=\frac{1}{2}m{V}^2+\frac{1}{2}m(2V{)}^2=\frac{1}{2}m{V}^2+2m{V}^2=\frac{5}{2}m{V}^2$

Кинетическая энергия системы после столкновения: $E_{\text{после}}=\frac{1}{2}m{V}_1^{\prime 2}+\frac{1}{2}m{V}_2^{\prime 2}$

Используя закон сохранения импульса и кинетической энергии, можно решить систему уравнений для скоростей после столкновения $V_1^{\prime }$ и $V_2^{\prime }$.

Решение системы уравнений:

1. $m{V}_1^{\prime }+m{V}_2^{\prime }=-mV$
2. $\frac{1}{2}m{V}_1^{\prime 2}+\frac{1}{2}m{V}_2^{\prime 2}=\frac{5}{2}m{V}^2$

Для упрощения, можно перейти в центр масс системы и использовать относительные скорости. В системе центра масс относительные скорости шайб меняются на противоположные после столкновения.

Скорость центра масс: $V_{\text{ЦМ}}=\frac{mV+m(-2V)}{2m}=-\frac{V}{2}$

Скорости относительно центра масс:

• Для первой шайбы: $V-(-\frac{V}{2}$ = \frac{3V}{2} )
• Для второй шайбы: $-2V-(-\frac{V}{2}$ = -\frac{3V}{2} )

После столкновения в системе центра масс:

• Первая шайба будет иметь скорость $-\frac{3V}{2}$
• Вторая шайба будет иметь скорость $\frac{3V}{2}$

Переходя обратно к лабораторной системе отсчета:

• ( V1' = -\frac{3V}{2} + V{\text{ЦМ}} = -\frac{3V}{2} - \frac{V}{2} = -2V )
• ( V2' = \frac{3V}{2} + V{\text{ЦМ}} = \frac{3V}{2} - \frac{V}{2} = V )

Таким образом, скорости после столкновения:

• Первая шайба: $V_1^{\prime }=-2V$
• Вторая шайба: $V_2^{\prime }=V$

Соответствующие кинетические энергии после столкновения:

• Первая шайба: $E_1^{\prime }=\frac{1}{2}m(-2V$^2 = 2mV^2 )
• Вторая шайба: $E_2^{\prime }=\frac{1}{2}m(V$^2 = \frac{1}{2}mV^2 )

Отношение кинетических энергий шайб после удара: $\frac{E_1^{\prime }}{E_2^{\prime }}=\frac{2m{V}^2}{\frac{1}{2}m{V}^2}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4$

Ответ:

Отношение кинетических энергий шайб после удара равно 4.

Пусть масса каждой шайбы равна m. После удара шайбы сомкнутся и будут двигаться как одно целое со скоростью V'. По закону сохранения импульса:

m V + 2m 2V = 3m * V'

V' = (m V + 2m 2V) / 3m = $V+4V$ / 3 = 5V / 3

Таким образом, после удара шайбы будут двигаться со скоростью 5V / 3. Кинетическая энергия шайб после удара будет равна:

K = (3m V'^2) / 2 = (3m $5V/3$^2) / 2 = 25mV^2 / 6

Отношение кинетической энергии шайб после удара к суммарной кинетической энергии до удара:

K / (m V^2 + 2m $2V$^2) = $25m{V}^2/6$ / $m{V}^2+8m{V}^2$ = $25/6$ / 9 = 25 / 54

Таким образом, отношение кинетической энергии шайб после удара к суммарной кинетической энергии до удара равно 25/54.