Два тела движутся прямолинейно вдоль оси X так, что их координаты следующим образом зависят от времени...

Для решения этой задачи нам нужно выполнить несколько шагов: найти момент времени, когда тела встречаются, определить скорости тел в этот момент и вычислить модуль относительной скорости.

1. Найдем момент встречи тел:

   Координаты тел зависят от времени следующим образом: ( x_1 = 2 + 2t + t^2 ) ( x_2 = -7 - 6t + 2t^2 )

   Чтобы найти момент встречи, приравняем координаты тел: [ 2 + 2t + t^2 = -7 - 6t + 2t^2 ]

   Переносим все члены уравнения в одну сторону: [ 2 + 2t + t^2 + 7 + 6t - 2t^2 = 0 ]

   Упрощаем уравнение: [ -t^2 + 8t + 9 = 0 ]

   Решим это квадратное уравнение. Переписываем его в стандартной форме: [ t^2 - 8t - 9 = 0 ]

   Используем формулу для корней квадратного уравнения ( at^2 + bt + c = 0 ): [ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

   В нашем случае ( a = 1 ), ( b = -8 ), ( c = -9 ): [ t = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1} ] [ t = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2} ] [ t = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2} ] [ t = \frac{8 \pm 10}{2} ]

   Получаем два корня: [ t_1 = \frac{8 + 10}{2} = 9 \quad \text{и} \quad t_2 = \frac{8 - 10}{2} = -1 ]

   Поскольку отрицательное время не имеет физического смысла в данной задаче, рассматриваем только положительный корень: [ t = 9 \, \text{c} ]

2. Определим скорости тел в момент времени ( t = 9 ) секунд:

   Скорость ( x_1 ) определяется как первая производная координаты ( x_1 ) по времени: [ v_1 = \frac{dx_1}{dt} = \frac{d}{dt} (2 + 2t + t^2) = 2 + 2t ] При ( t = 9 ): [ v_1 = 2 + 2 \cdot 9 = 2 + 18 = 20 \, \text{м/с} ]

   Скорость ( x_2 ) определяется как первая производная координаты ( x_2 ) по времени: [ v_2 = \frac{dx_2}{dt} = \frac{d}{dt} (-7 - 6t + 2t^2) = -6 + 4t ] При ( t = 9 ): [ v_2 = -6 + 4 \cdot 9 = -6 + 36 = 30 \, \text{м/с} ]

3. Определим модуль относительной скорости тел в момент встречи:

   Относительная скорость ( v{\text{отн}} ) тел равна разности их скоростей: [ v{\text{отн}} = |v_1 - v2| ] При ( t = 9 ): [ v{\text{отн}} = |20 - 30| = |-10| = 10 \, \text{м/с} ]

Таким образом, модуль относительной скорости тел в момент их встречи составляет ( 10 \, \text{м/с} ).

Для определения модуля относительной скорости тел в момент их встречи необходимо найти скорости каждого тела по отдельности и затем найти разность этих скоростей.

Сначала найдем скорости тел. Для этого нужно взять производные координат по времени:

v1 = dx1/dt = 2 + 2t, v2 = dx2/dt = -6 + 4t.

Теперь найдем момент встречи тел. Для этого приравняем координаты тел:

2 + 2t + t^2 = -7 - 6t + 2t^2.

Решая это уравнение, получим t = 2 сек.

Теперь найдем скорости тел в момент встречи:

v1(2) = 2 + 22 = 6 м/c, v2(2) = -6 + 42 = 2 м/c.

Теперь найдем модуль относительной скорости тел в момент их встречи:

|v1 - v2| = |6 - 2| = 4 м/c.

Таким образом, модуль относительной скорости тел в момент их встречи составляет 4 м/c.