Два проводящих шара,радиусы которых R1=15мм и R2=45мм, находятся на большом расстояний друг от друга. Потенциал первого шара Ф=8 В,второй шар не заряжен. Чему будет равен потенциал первого шара,если шары соединить проводником?
Два проводящих шара,радиусы которых R1=15мм и R2=45мм, находятся на большом расстояний друг от друга. Потенциал первого шара Ф=8 В,второй шар не заряжен. Чему будет равен потенциал первого шара,если шары соединить проводником?
Чтобы решить задачу, нужно понять, как перераспределяется заряд между двумя проводящими шарами при их соединении проводником. Давайте разберем это пошагово:
Потенциал проводящего шара определяется формулой:
[
\varphi = \frac{q}{C}, \quad \text{где } C = 4 \pi \varepsilon_0 R.
]
В данном случае потенциал шара можно записать как:
[
\varphi = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{R}.
]
Здесь ( q ) — заряд шара, ( R ) — его радиус, ( \varepsilon_0 ) — электрическая постоянная.
После соединения шаров проводником их потенциалы становятся равными, так как в проводнике потенциал выравнивается. Мы обозначим общий потенциал после соединения как ( \varphi_f ).
Заряд сохраняется, поэтому суммарный заряд системы до соединения равен суммарному заряду после соединения. Пусть ( q_1 ) — заряд первого шара перед соединением, тогда:
[
q_1 = C_1 \varphi_1 = 4 \pi \varepsilon_0 R_1 \varphi_1.
]
Заряд второго шара до соединения:
[
q_2 = 0.
]
После соединения заряд перераспределяется, но их общий потенциал ( \varphi_f ) одинаков:
[
\varphi_f = \frac{q_1' + q_2'}{C_1 + C_2},
]
где ( C_1 = 4 \pi \varepsilon_0 R_1 ) и ( C_2 = 4 \pi \varepsilon_0 R_2 ) — ёмкости шаров. Заряды после соединения:
[
q_1' = C_1 \varphi_f, \quad q_2' = C_2 \varphi_f.
]
Заряд первого шара до соединения:
[
q_1 = 4 \pi \varepsilon_0 R_1 \varphi_1.
]
Подставляем значения:
[
q_1 = 4 \pi \varepsilon_0 \cdot 0.015 \cdot 8 = 0.48 \cdot \pi \varepsilon_0.
]
Общий заряд системы после соединения:
[
q_{\text{общ}} = q_1 + q_2 = q_1 = 0.48 \cdot \pi \varepsilon_0.
]
Общая ёмкость системы:
[
C_{\text{общ}} = C_1 + C_2 = 4 \pi \varepsilon_0 (R_1 + R2).
]
Подставляем значения:
[
C{\text{общ}} = 4 \pi \varepsilon_0 (0.015 + 0.045) = 4 \pi \varepsilon_0 \cdot 0.06 = 0.24 \cdot \pi \varepsilon_0.
]
Потенциал после соединения:
[
\varphif = \frac{q{\text{общ}}}{C_{\text{общ}}}.
]
Подставляем:
[
\varphi_f = \frac{0.48 \cdot \pi \varepsilon_0}{0.24 \cdot \pi \varepsilon_0} = 2 \, \text{В}.
]
После соединения проводником потенциал первого шара станет ( \varphi_f = 2 \, \text{В} ).
Когда два проводящих шара соединяются проводником, они устанавливают одинаковый потенциал. Поскольку первый шар имеет потенциал 8 В, а второй шар не заряжен, в результате соединения заряды перераспределятся.
Обозначим заряд первого шара как ( Q_1 ) и второго шара как ( Q_2 ). Потенциалы шаров можно выразить через заряды и радиусы:
[ V_1 = \frac{Q_1}{4 \pi \varepsilon_0 R_1} = 8 \, \text{В} ]
[ V_2 = \frac{Q_2}{4 \pi \varepsilon_0 R_2} = 0 \, \text{В} ]
При соединении потенциалы станут равными, и можно записать:
[ V_f = V_1' = V_2' = \frac{Q_f}{4 \pi \varepsilon0 R{eq}} ]
где ( Q_f = Q_1 + Q2 ) и ( R{eq} ) - эквивалентный радиус.
Так как второй шар изначально не имел заряда, весь заряд с первого шара будет перераспределён между двумя шарами. Потенциал после соединения можно найти как средневзвешенное значение потенциалов с учетом радиусов:
[ V_f = \frac{R_1 \cdot V_1 + R_2 \cdot V_2}{R_1 + R_2} = \frac{15 \, \text{мм} \cdot 8 \, \text{В} + 45 \, \text{мм} \cdot 0}{15 \, \text{мм} + 45 \, \text{мм}} = \frac{120}{60} = 2 \, \text{В} ]
Таким образом, потенциал первого шара после соединения будет равен 2 В.
Для решения задачи начнем с определения потенциала проводящих шаров и того, как их соединение влияет на распределение зарядов и потенциал.
Исходные условия:
Заряд на первом шаре: Потенциал проводящего шара определяется как: [ V = \frac{k \cdot Q}{R} ] где ( V ) — потенциал шара, ( k ) — электрическая постоянная (( k \approx 8.99 \times 10^9 \, \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2 )), ( Q ) — заряд шара, ( R ) — радиус шара.
Для первого шара, имея потенциал ( V_1 = 8 \, \text{В} ): [ 8 = \frac{k \cdot Q_1}{R_1} \Rightarrow Q_1 = \frac{8 \cdot R_1}{k} ]
Соединение шаров проводником: Когда шары соединяются проводником, они становятся эквипотенциальными, и их потенциалы становятся равными. Обозначим общий потенциал после соединения как ( V_f ).
Так как заряд сохраняется, общий заряд после соединения будет равен сумме зарядов до соединения: [ Q_{\text{total}} = Q_1 + Q_2 ] Поскольку второй шар был не заряжен, ( Q2 = 0 ). Таким образом, ( Q{\text{total}} = Q_1 ).
Общий потенциал: Потенциал после соединения можно выразить через суммарный заряд и эквивалентный радиус, учитывая, что заряды распределяются по двум шарам: [ Vf = \frac{Q{\text{total}}}{C{\text{eq}}} ] где ( C{\text{eq}} ) — эквивалентная ёмкость системы.
Для двух проводящих шаров, эквивалентная ёмкость рассчитывается как: [ C_{\text{eq}} = C_1 + C_2 ] где: [ C_1 = 4 \pi \varepsilon_0 R_1, \quad C_2 = 4 \pi \varepsilon_0 R2 ] Таким образом: [ C{\text{eq}} = 4 \pi \varepsilon_0 (R_1 + R_2) ]
Вычисление потенциала после соединения: Подставим выражение для ( V_f ): [ V_f = \frac{Q_1}{C_1 + C_2} = \frac{Q_1}{4 \pi \varepsilon_0 (R_1 + R_2)} ]
Подставляя ранее найденный заряд ( Q_1 ): [ V_f = \frac{8 \cdot R_1}{4 \pi \varepsilon_0 R_1} = \frac{8}{4} \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_2} ]
Из этого уравнения можно выяснить, что потенциал будет зависеть от соотношения радиусов обоих шаров.
Итоговый результат: Потенциал после соединения будет меньше первоначального потенциала первого шара, и его значение можно рассчитать подставив конкретные значения радиусов. Важно помнить, что оба шара будут иметь одинаковый потенциал после соединения, который можно найти по указанной формуле.
Таким образом, конкретное значение потенциала после соединения можно вычислить, подставив числовые значения радиусов и постоянных, что даст нам итоговое значение потенциала первого шара после соединения.
