Два положительно заряженных тела, заряды которых 1,67 и 3,33 нКл, закреплены на расстоянии 20 см друг от друга. В какой точке на прямой, соединяющей эти тела, необходимо разместить третье тело с зарядом -0,67 нКл, чтобы образовавшаяся система была в равновесии? Массами тел пренебречь.
Для того чтобы система была в равновесии, сила, действующая на третье тело, должна быть нулевой. Сила, действующая на третье тело, обусловлена притяжением к первому телу и отталкиванием от второго тела.
Сначала найдем расстояния от третьего тела до каждого из положительно заряженных тел. Обозначим расстояние от третьего тела до первого тела как x, а расстояние от третьего тела до второго тела как 20 - x. Теперь можно использовать закон Кулона для нахождения силы, действующей на третье тело, от каждого из положительно заряженных тел.
Сила притяжения к первому телу: F1 = k |q1 q3| / x^2 Сила отталкивания от второго тела: F2 = k |q2 q3| / (20 - x)^2
Где k - постоянная Кулона, q1, q2, q3 - заряды тел, x - расстояние от третьего тела до первого тела (неизвестная величина).
Теперь, чтобы система была в равновесии, сумма этих двух сил должна быть равна нулю:
F1 + F2 = 0 k |q1 q3| / x^2 + k |q2 q3| / (20 - x)^2 = 0
Подставляем значения зарядов и расстояние между заряженными телами, и находим x, при котором сумма сил равна нулю. Таким образом, найдем точку, в которой нужно разместить третье тело для равновесия системы.
Для того чтобы система из трех зарядов была в равновесии, необходимо, чтобы сумма сил, действующих на третий заряд, была равна нулю. Пусть заряды ( q_1 = 1{,}67 \, \text{нКл} ) и ( q_2 = 3{,}33 \, \text{нКл} ) находятся на расстоянии ( d = 20 \, \text{см} ) друг от друга. Заряд ( q_3 = -0{,}67 \, \text{нКл} ) необходимо разместить на прямой между ними.
Обозначим расстояние от заряда ( q_1 ) до заряда ( q_3 ) как ( x ). Тогда расстояние от заряда ( q_3 ) до заряда ( q_2 ) будет равно ( d - x ).
Силы, действующие на заряд ( q_3 ), можно выразить с помощью закона Кулона:
Для равновесия необходимо, чтобы силы были равны по модулю: [ F{13} = F{23} ] Подставим выражения для сил: [ k \frac{|q_1 \cdot q_3|}{x^2} = k \frac{|q_2 \cdot q_3|}{(d-x)^2} ] Так как ( q_3 ) одинаков в обеих частях уравнения, и константа ( k ) также сокращается, получаем: [ \frac{|q_1|}{x^2} = \frac{|q_2|}{(d-x)^2} ]
Подставим числовые значения: [ \frac{1{,}67}{x^2} = \frac{3{,}33}{(20-x)^2} ]
Решим это уравнение: [ 1{,}67 \cdot (20-x)^2 = 3{,}33 \cdot x^2 ] [ 1{,}67 \cdot (400 - 40x + x^2) = 3{,}33 \cdot x^2 ] [ 668 - 66{,}8x + 1{,}67x^2 = 3{,}33x^2 ] [ 668 - 66{,}8x = 3{,}33x^2 - 1{,}67x^2 ] [ 668 - 66{,}8x = 1{,}66x^2 ] [ 1{,}66x^2 + 66{,}8x - 668 = 0 ]
Решим квадратное уравнение: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = 1{,}66 ), ( b = 66{,}8 ), ( c = -668 ).
Дискриминант: [ b^2 - 4ac = 66{,}8^2 - 4 \cdot 1{,}66 \cdot (-668) ] [ = 4462{,}24 + 4446{,}88 = 8909{,}12 ]
Корни: [ x = \frac{-66{,}8 \pm \sqrt{8909{,}12}}{3{,}32} ]
Рассчитаем (\sqrt{8909{,}12}): [ \sqrt{8909{,}12} \approx 94{,}38 ]
Подставляем: [ x_1 = \frac{-66{,}8 + 94{,}38}{3{,}32} \approx \frac{27{,}58}{3{,}32} \approx 8{,}31 ] [ x_2 = \frac{-66{,}8 - 94{,}38}{3{,}32} \approx \frac{-161{,}18}{3{,}32} \approx -48{,}55 ]
Значение ( x_1 \approx 8{,}31 \, \text{см} ) подходит, так как оно положительное и находится между зарядами ( q_1 ) и ( q_2 ).
Таким образом, третье тело с зарядом ( -0{,}67 \, \text{нКл} ) необходимо разместить на расстоянии примерно ( 8{,}31 \, \text{см} ) от заряда ( q_1 ) для достижения равновесия в системе.
