Два одинаковых заряженных шарика висят на нитях одинаковой длины l=47 см. Угол между нитями равен 90...

Для решения этой задачи нужно учитывать законы электростатики и механики. Давайте разберем все шаги подробно.

Дано:

1. Длина нитей: ( l = 47 \, \text{см} = 0.47 \, \text{м} ),
2. Угол между нитями: ( \theta = 90^\circ ),
3. Массы шариков: ( m = 2 \, \text{г} = 0.002 \, \text{кг} ),
4. Необходимо найти заряд шариков ( q ).

Анализ задачи:

Шарики висят на нитях и находятся в равновесии. На каждый шарик действуют три силы:

1. Сила тяжести ( F_g = m g ), направленная вниз (( g = 9.8 \, \text{м/с}^2 )).
2. Натяжение нити ( T ), направленное вдоль нити.
3. Сила кулоновского отталкивания ( F_e ), вызванная одноименным зарядом на шариках. Эта сила действует горизонтально, отталкивая шарики друг от друга.

Поскольку шарики находятся в равновесии, сумма сил в горизонтальном и вертикальном направлениях равна нулю. Это позволит составить два уравнения.

Геометрия задачи:

Угол между нитями равен ( 90^\circ ), следовательно, каждый шарик отклоняется от вертикали на угол ( \alpha ), где:

[ \alpha = \frac{\theta}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ. ]

Силы в равновесии:

Рассмотрим силы, действующие на один шарик. Разложим натяжение нити ( T ) на горизонтальную (( T_x )) и вертикальную (( T_y )) составляющие:

1. ( T_x = T \sin \alpha ),
2. ( T_y = T \cos \alpha ).

Условие равновесия:

1. По вертикали: ( T_y = F_g ), [ T \cos \alpha = m g. ]
2. По горизонтали: ( T_x = F_e ), [ T \sin \alpha = F_e. ]

Сила кулоновского отталкивания:

Сила кулоновского отталкивания между двумя заряженными телами определяется законом Кулона: [ F_e = k \frac{q^2}{r^2}, ] где:

• ( k = 9 \cdot 10^9 \, \text{Н·м}^2/\text{Кл}^2 ) — электростатическая постоянная,
• ( q ) — заряд на каждом шарике (одинаковый),
• ( r ) — расстояние между шариками.

Из геометрии видно, что шарики образуют равнобедренный треугольник с углом ( 90^\circ ). Расстояние между шариками ( r ) можно найти через длину нитей ( l ): [ r = \sqrt{2} l \sin \alpha. ] Так как ( \alpha = 45^\circ ) и ( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} ), то: [ r = \sqrt{2} l \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = l. ] Значит, ( r = 0.47 \, \text{м} ).

Решение системы уравнений:

Из первого уравнения (( T \cos \alpha = m g )) выразим ( T ): [ T = \frac{m g}{\cos \alpha}. ]

Подставим ( T ) во второе уравнение (( T \sin \alpha = F_e )): [ \frac{m g}{\cos \alpha} \sin \alpha = F_e. ]

Упростим: [ m g \tan \alpha = F_e. ]

Подставим ( F_e = k \frac{q^2}{r^2} ): [ m g \tan \alpha = k \frac{q^2}{r^2}. ]

Выразим заряд ( q ): [ q^2 = \frac{m g \tan \alpha \cdot r^2}{k}. ]

[ q = \sqrt{\frac{m g \tan \alpha \cdot r^2}{k}}. ]

Подстановка численных значений:

1. ( m = 0.002 \, \text{кг} ),
2. ( g = 9.8 \, \text{м/с}^2 ),
3. ( \tan 45^\circ = 1 ),
4. ( r = 0.47 \, \text{м} ),
5. ( k = 9 \cdot 10^9 \, \text{Н·м}^2/\text{Кл}^2 ).

Подставим: [ q = \sqrt{\frac{0.002 \cdot 9.8 \cdot 1 \cdot (0.47)^2}{9 \cdot 10^9}}. ]

Выполним вычисления:

1. ( r^2 = 0.47^2 = 0.2209 \, \text{м}^2 ),
2. ( 0.002 \cdot 9.8 = 0.0196 ),
3. ( 0.0196 \cdot 0.2209 = 0.00433 ),
4. ( 9 \cdot 10^9 = 9 \cdot 10^9 ).

[ q = \sqrt{\frac{0.00433}{9 \cdot 10^9}} = \sqrt{4.81 \cdot 10^{-13}}. ]

[ q \approx 6.94 \cdot 10^{-7} \, \text{Кл}. ]

Ответ:

Заряд на каждом шарике равен: [ q \approx 6.94 \cdot 10^{-7} \, \text{Кл}. ]

Для решения задачи используем закон сохранения энергии и закон Кулона.

1. Сначала определим расстояние между шариками. Угол между нитями равен 90°, значит, расстояние между шариками будет равно (d = l\sqrt{2} = 0.47 \sqrt{2} \approx 0.664 \, \text{м}).

2. Силы, действующие на шарики:

   • Сила тяжести: (F_g = mg = 0.002 \cdot 9.81 \approx 0.01962 \, \text{Н}).
   • Сила Кулона: (F_k = \frac{k \cdot q^2}{d^2}), где (k \approx 8.99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2).

3. На каждом шарике действует напряжение нити, которое можно разложить на компоненты. Вертикальная составляющая равна силе тяжести, а горизонтальная — силе Кулона.

   Для угла 45° (в каждой из нитей): [ T \sin(45°) = F_g \implies T = \frac{F_g}{\sin(45°)} = \frac{0.01962}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \approx 0.0277 \, \text{Н} ] [ T \cos(45°) = F_k ] Подставляя (F_k) и (T): [ \frac{0.0277 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{k \cdot q^2}{(0.664)^2} ]

4. Упрощая уравнение: [ 0.0277 = \frac{8.99 \times 10^9 \cdot q^2}{0.440896} ]

5. Решаем для (q^2): [ q^2 = \frac{0.0277 \cdot 0.440896}{8.99 \times 10^9} \approx 1.36 \times 10^{-12} \implies q \approx 1.17 \times 10^{-6} \, \text{Кл} ]

Таким образом, заряд каждого шарика составляет примерно (q \approx 1.17 \, \mu\text{Кл}).

Для решения данной задачи следует воспользоваться законами электричества и механики. Рассмотрим систему в статическом равновесии, когда силы, действующие на заряженные шарики, уравновешивают друг друга.

Дано:

• Масса шариков ( m = 2 \, \text{г} = 0.002 \, \text{кг} )
• Длина нити ( l = 47 \, \text{см} = 0.47 \, \text{м} )
• Угол между нитями ( \alpha = 90^\circ )
• Заряд шариков ( q ) (неизвестно)

Силы, действующие на шарики:

1. Сила тяжести ( F_g ): [ F_g = m \cdot g ] где ( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 ) — ускорение свободного падения.

2. Сила натяжения нити ( T ).

3. Сила электрического отталкивания между заряженными шариками ( F_e ): [ F_e = k \cdot \frac{q^2}{r^2} ] где ( k \approx 8.99 \times 10^9 \, \text{Н m}^2/\text{Кл}^2 ) — электрическая постоянная, ( r ) — расстояние между шариками.

Расчет расстояния между шариками:

При угле между нитями в 90 градусов, расстояние ( r ) между шариками можно найти по теореме Пифагора: [ r = \sqrt{(l \sin(45^\circ))^2 + (l \sin(45^\circ))^2} = \sqrt{2 \left(\frac{l}{\sqrt{2}}\right)^2} = l ] где ( l \sin(45^\circ) = \frac{l}{\sqrt{2}} ).

Таким образом, расстояние между шариками: [ r = 0.47 \, \text{м} ]

Составим уравнения для сил:

На каждом шарике действуют две силы: сила тяжести ( F_g ) и компонента силы натяжения ( T ) по вертикали, а также сила отталкивания ( F_e ) по горизонтали. В статическом равновесии:

1. Вертикальная компонента: [ T \cos(45^\circ) = F_g ]

2. Горизонтальная компонента: [ T \sin(45^\circ) = F_e ]

Подставим известные значения:

Сначала найдем силу тяжести: [ F_g = m \cdot g = 0.002 \cdot 9.81 \approx 0.01962 \, \text{Н} ]

Теперь подставим ( T ) из первого уравнения во второе: [ T = \frac{F_g}{\cos(45^\circ)} = \frac{0.01962}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 0.01962 \sqrt{2} \approx 0.0277 \, \text{Н} ]

Теперь подставим ( T ) во второе уравнение: [ T \sin(45^\circ) = F_e ] [ 0.0277 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = k \cdot \frac{q^2}{r^2} ] [ 0.0277 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 8.99 \times 10^9 \cdot \frac{q^2}{(0.47)^2} ]

Упрощаем и находим заряд ( q ):

[ q^2 = \frac{0.0277 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (0.47)^2}{8.99 \times 10^9} ] [ q^2 = \frac{0.0277 \cdot 0.2209}{8.99 \times 10^9} ] [ q^2 \approx \frac{0.006115}{8.99 \times 10^9} \approx 6.8 \times 10^{-12} ] [ q \approx \sqrt{6.8 \times 10^{-12}} \approx 8.25 \times 10^{-6} \, \text{Кл} ]

Таким образом, заряд каждого шарика составляет примерно ( q \approx 8.25 \, \mu C ).