Два одинаковых небольших шарика массой 1 г каждый подвешены на нитях длиной 25 см. После того, как шарикам...

Для решения этой задачи воспользуемся законом Кулона и тригонометрией.

1. Длина нити ( L = 0.25 \, \text{м} ), расстояние между шариками ( d = 0.05 \, \text{м} ).
2. Каждый шарик отклоняется от вертикали на угол ( \theta ), где ( \sin(\theta) = \frac{d/2}{L} = \frac{0.025}{0.25} = 0.1 ).
3. Угол ( \theta ) можно найти как ( \theta \approx 5.74^\circ ).

Сила тяжести ( F_g = mg ), где ( m = 0.001 \, \text{кг} ), ( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 ): [ F_g = 0.001 \cdot 9.81 \approx 0.00981 \, \text{Н}. ]

Сила электрического отталкивания ( F_e = k \frac{q^2}{d^2} ), где ( k \approx 8.99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 ).

На шарик действуют две силы: сила электрического отталкивания и компонент силы тяжести, направленный вдоль нити: [ F_e = F_g \sin(\theta). ]

С учетом ( \sin(\theta) \approx 0.1 ): [ F_e \approx 0.00981 \cdot 0.1 \approx 0.000981 \, \text{Н}. ]

Приравняем силы: [ k \frac{q^2}{d^2} = F_e, ] где ( d = 0.05 \, \text{м} ): [ 8.99 \times 10^9 \frac{q^2}{(0.05)^2} = 0.000981. ]

Решая это уравнение, получаем: [ q^2 \approx \frac{0.000981 \cdot (0.05)^2}{8.99 \times 10^9} ] [ q^2 \approx 2.73 \times 10^{-15} ] [ q \approx \sqrt{2.73 \times 10^{-15}} \approx 5.22 \times 10^{-8} \, \text{Кл}. ]

Таким образом, заряды шариков составляют примерно ( 52.2 \, \text{нКл} ) каждый.

Для решения этой задачи воспользуемся законом Кулона и некоторыми тригонометрическими соотношениями.

1. Данные задачи:

   • Масса шариков: ( m = 1 \, \text{г} = 0.001 \, \text{кг} )
   • Длина нитей: ( L = 25 \, \text{см} = 0.25 \, \text{м} )
   • Расстояние между шариками: ( d = 5 \, \text{см} = 0.05 \, \text{м} )

2. Силы, действующие на шарики:

   • На каждый шарик действуют следующие силы:
     • Сила тяжести ( F_g = mg ), где ( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 ).
     • Сила электростатического отталкивания ( F_e ) между заряженными шариками.
     • Тяжесть шарика направлена вниз, а электростатическая сила — горизонтально.

3. Сила тяжести: [ F_g = mg = 0.001 \cdot 9.81 = 0.00981 \, \text{Н} ]

4. Определение угла отклонения: Когда шарики отталкиваются, они образуют равнобедренный треугольник. Длина нитей является гипотенузой, а расстояние между шариками — основанием. Половина этого расстояния равна ( \frac{d}{2} = 0.025 \, \text{м} ).

   По теореме Пифагора: [ L^2 = h^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 ] где ( h ) — вертикальное расстояние от точки подвеса до уровня, где находятся шарики.

   Подставим известные значения: [ 0.25^2 = h^2 + 0.025^2 ] [ 0.0625 = h^2 + 0.000625 ] [ h^2 = 0.0625 - 0.000625 = 0.061875 ] [ h \approx 0.2487 \, \text{м} ]

5. Нахождение угла: Угол отклонения ( \theta ) можно найти из отношения: [ \tan(\theta) = \frac{\frac{d}{2}}{h} = \frac{0.025}{0.2487} \approx 0.1005 ] Отсюда: [ \theta \approx \arctan(0.1005) \approx 5.73^{\circ} ]

6. Силы в горизонтальном и вертикальном направлениях: В вертикальном направлении: [ T \cos(\theta) = F_g ] В горизонтальном направлении: [ T \sin(\theta) = F_e ]

   Здесь ( T ) — сила натяжения нити. Из первых двух уравнений можно выразить ( T ): [ T = \frac{F_g}{\cos(\theta)} ]

   Подставим ( F_g ): [ T = \frac{0.00981}{\cos(5.73^{\circ})} \approx 0.00981 \, \text{Н} ]

7. Сила Кулона: Сила отталкивания между шариками описывается формулой: [ F_e = k \frac{q^2}{d^2} ] где ( k \approx 8.99 \times 10^9 \, \text{Н m}^2/\text{C}^2 ) — электрическая постоянная.

   Подставляя ( F_e ): [ T \sin(\theta) = k \frac{q^2}{d^2} ] [ \frac{0.00981}{\cos(5.73^{\circ})} \sin(5.73^{\circ}) = k \frac{q^2}{(0.05)^2} ] [ 0.00981 \cdot \tan(5.73^{\circ}) = k \frac{q^2}{0.0025} ]

8. Решение для заряда: После вычислений получим значение заряда ( q ): [ q^2 = \frac{0.00981 \cdot 0.1005 \cdot 0.0025 \cdot k}{1} ] [ q^2 = \frac{0.00024671 \cdot 8.99 \times 10^9}{1} ] [ q = \sqrt{0.00024671 \cdot 8.99 \times 10^9} \approx 0.15 \, \text{Кл} ]

Таким образом, каждый из заряженных шариков имеет заряд примерно ( q \approx 0.15 \, \mu\text{Кл} ) или ( 150 \, \text{нКл} ).

Для решения этой задачи используем законы механики и электростатики. Шарики находятся в равновесии под действием нескольких сил: силы тяжести, силы натяжения нити и силы электростатического отталкивания. Рассмотрим подробно решение.

Дано:

1. Масса каждого шарика ( m = 1 \, \text{г} = 0{,}001 \, \text{кг} );
2. Длина нитей ( L = 25 \, \text{см} = 0{,}25 \, \text{м} );
3. Расстояние между шариками ( d = 5 \, \text{см} = 0{,}05 \, \text{м} );
4. Требуется найти заряд каждого шарика ( q ) (заряды одинаковые).

Анализ сил, действующих на шарик:

На каждом шарике действуют следующие силы:

1. Сила тяжести ( F_g = mg ), направленная вертикально вниз;
2. Сила натяжения нити ( T ), направленная вдоль нити;
3. Сила электростатического отталкивания ( F_e = k \frac{q^2}{r^2} ), направленная горизонтально (вдоль линии соединения центров шариков).

Здесь:

• ( g = 9{,}8 \, \text{м/c}^2 ) — ускорение свободного падения;
• ( k = 9 \cdot 10^9 \, \text{Н·м}^2/\text{Кл}^2 ) — электрическая постоянная;
• ( r = d = 0{,}05 \, \text{м} ) — расстояние между шариками.

Для шариков в равновесии выполняется условие, что сумма всех сил равна нулю. Воспользуемся этим, чтобы найти заряд.

Шаг 1. Геометрия системы

Шарики подвешены на нитях длиной ( L = 0{,}25 \, \text{м} ), а расстояние между ними — ( d = 0{,}05 \, \text{м} ). Это позволяет найти угол отклонения нити ( \theta ) от вертикали. Половина расстояния между шариками — это ( d/2 = 0{,}025 \, \text{м} ). Из геометрии треугольника имеем:

[ \sin \theta = \frac{(d/2)}{L} = \frac{0{,}025}{0{,}25} = 0{,}1. ]

Поэтому угол отклонения ( \theta \approx \arcsin(0{,}1) \approx 5{,}7^\circ ).

Шаг 2. Разложение сил

Рассмотрим силы, действующие на один из шариков. Составим уравнения равновесия:

1. По вертикали: [ T \cos \theta = F_g = mg. ]
2. По горизонтали: [ T \sin \theta = F_e = k \frac{q^2}{r^2}. ]

Разделив второе уравнение на первое, получим: [ \tan \theta = \frac{F_e}{F_g}. ]

Подставим выражения для сил: [ \tan \theta = \frac{k \frac{q^2}{r^2}}{mg}. ]

Выразим ( q^2 ): [ q^2 = \frac{mg r^2 \tan \theta}{k}. ]

Шаг 3. Подставим значения

1. ( m = 0{,}001 \, \text{кг} );
2. ( g = 9{,}8 \, \text{м/с}^2 );
3. ( r = 0{,}05 \, \text{м} );
4. ( k = 9 \cdot 10^9 \, \text{Н·м}^2/\text{Кл}^2 );
5. ( \tan \theta \approx \tan(5{,}7^\circ) \approx 0{,}1 ) (для малых углов).

Подставляем: [ q^2 = \frac{(0{,}001)(9{,}8)(0{,}05)^2 (0{,}1)}{9 \cdot 10^9}. ]

Рассчитаем поэтапно:

1. ( (0{,}05)^2 = 0{,}0025 );
2. ( (0{,}001)(9{,}8) = 0{,}0098 );
3. ( 0{,}0098 \cdot 0{,}0025 = 0{,}0000245 );
4. ( 0{,}0000245 \cdot 0{,}1 = 0{,}00000245 );
5. ( \frac{0{,}00000245}{9 \cdot 10^9} = 2{,}72 \cdot 10^{-16} ).

Теперь найдём ( q ): [ q = \sqrt{2{,}72 \cdot 10^{-16}} \approx 1{,}65 \cdot 10^{-8} \, \text{Кл}. ]

Ответ:

Заряд каждого шарика составляет примерно: [ q \approx 1{,}65 \cdot 10^{-8} \, \text{Кл}. ]