67. Если за последнюю секунду свободно падающее без начальной скорости тело пролетело ¾ всего пути,...

Для решения данной задачи нам необходимо использовать уравнение равноускоренного движения тела, падающего под действием силы тяжести:

h = (1/2) g t^2,

где h - высота, которую пролетело тело за время t, g - ускорение свободного падения (принимаем равным 9,8 м/c^2).

По условию задачи, за последнюю секунду тело пролетело 3/4 всего пути, следовательно, за (t-1) секунду тело пролетело 1/4 всего пути. Таким образом, можно записать уравнения для двух этапов падения:

(1/2) g (t-1)^2 = (1/4) h, (1/2) g t^2 = (3/4) h.

Решив данную систему уравнений, найдем значение t - полного времени падения тела.

Чтобы решить эту задачу, давайте проанализируем движение свободно падающего тела с использованием уравнений кинематики.

Предположим, что тело падает с высоты ( h ) и проходит это расстояние за время ( t ). Согласно условию, за последнюю секунду падения тело преодолевает ( \frac{3}{4} ) всего пути, то есть ( \frac{3}{4}h ).

1. Уравнение движения для полного времени ( t ):

   Полное расстояние ( h ), пройденное телом за время ( t ), можно выразить через уравнение движения для свободно падающего тела: [ h = \frac{1}{2} g t^2 ] где ( g ) — ускорение свободного падения (приблизительно ( 9.8 \, \text{м/с}^2 )).

2. Уравнение движения для последних секунд:

   За последние секунды тело проходит путь ( \frac{3}{4}h ). Используем уравнение движения для последней секунды, чтобы выразить его: [ \frac{3}{4}h = h(t) - h(t-1) ] где ( h(t) = \frac{1}{2} g t^2 ) и ( h(t-1) = \frac{1}{2} g (t-1)^2 ).

   Раскроем скобки и упростим: [ \frac{3}{4} \left(\frac{1}{2} g t^2\right) = \frac{1}{2} g t^2 - \frac{1}{2} g (t-1)^2 ]

   [ \frac{3}{8} g t^2 = \frac{1}{2} g t^2 - \frac{1}{2} g (t^2 - 2t + 1) ]

   [ \frac{3}{8} g t^2 = \frac{1}{2} g (2t - 1) ]

   Упростим уравнение: [ \frac{3}{8} t^2 = t - \frac{1}{2} ]

   [ \frac{3}{8} t^2 - t + \frac{1}{2} = 0 ]

3. Решение квадратного уравнения:

   Приведем уравнение к стандартному виду: [ \frac{3}{8} t^2 - t + \frac{1}{2} = 0 ]

   Умножим все уравнение на 8, чтобы избавиться от дробей: [ 3t^2 - 8t + 4 = 0 ]

   Решим это квадратное уравнение по формуле: [ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

   где ( a = 3 ), ( b = -8 ), ( c = 4 ).

   [ t = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3} ]

   [ t = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{6} ]

   [ t = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{6} ]

   [ t = \frac{8 \pm 4}{6} ]

   Таким образом, ( t = \frac{12}{6} = 2 ) или ( t = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} ).

Поскольку ( t ) должно быть больше 1 секунды (поскольку за последнюю секунду тело прошло ¾ всего пути), мы выбираем ( t = 2 ).

Полное время падения тела равно 2 секунды.