5. Поток электронов, движущихся со скоростью 4*10 в 7степени м/c, влетает в плоский конденсатор параллельно...

Для того чтобы электроны не вылетали из конденсатора, необходимо, чтобы электрическое поле в конденсаторе создавало силу, равную или превышающую силу, действующую на электроны от их кинетической энергии.

Кинетическая энергия электрона ( E_k ) вычисляется по формуле:

[ E_k = \frac{1}{2} m v^2 ]

где ( m ) — масса электрона (( m \approx 9.11 \times 10^{-31} ) кг), ( v = 4 \times 10^7 ) м/с — скорость электронов.

Сила, действующая на электрон в электрическом поле ( E ), равна:

[ F = eE ]

где ( e \approx 1.6 \times 10^{-19} ) Кл — заряд электрона.

Напряжение ( U ) между пластинами конденсатора связано с электрическим полем ( E ):

[ E = \frac{U}{d} ]

где ( d = 0.01 ) м — расстояние между пластинами.

Для того чтобы электроны не вылетали, необходимо, чтобы сила, действующая на них, была не менее их инерции, то есть:

[ eE \geq m \cdot a ]

где ( a ) — необходимое ускорение. Однако, проще использовать, что энергия должна быть равна:

[ U \geq \frac{E_k}{e} ]

Теперь вычислим ( E_k ):

[ E_k = \frac{1}{2} \times 9.11 \times 10^{-31} \times (4 \times 10^7)^2 \approx 7.29 \times 10^{-13} \text{ Дж} ]

Теперь находим минимальное напряжение:

[ U \geq \frac{7.29 \times 10^{-13}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 4.56 \times 10^6 \text{ В} ]

Таким образом, наименьшее напряжение, которое нужно приложить к конденсатору, составляет примерно ( 4.56 \times 10^6 ) В или 4.56 МВ.

Для решения данной задачи необходимо учесть динамику электронов в электрическом поле между пластинами конденсатора. Мы будем рассматривать влияние электрического поля на электроны и определим, какое напряжение необходимо приложить, чтобы электроны не вылетали из конденсатора.

Дано:

• Скорость электронов ( v = 4 \times 10^7 \, \text{м/с} )
• Длина конденсатора ( L = 5 \, \text{см} = 0.05 \, \text{м} )
• Расстояние между пластинами ( d = 1 \, \text{см} = 0.01 \, \text{м} )

1. Время, которое электроны проводят в конденсаторе

Электроны проходят через конденсатор, который имеет длину ( L ). Чтобы найти время, которое электроны проводят в конденсаторе, используем формулу:

[ t = \frac{L}{v} ]

Подставим значения:

[ t = \frac{0.05 \, \text{м}}{4 \times 10^7 \, \text{м/с}} = 1.25 \times 10^{-9} \, \text{с} ]

2. Движение электронов в электрическом поле

Электрическое поле между пластинами конденсатора создается приложенным напряжением ( U ). Сила, действующая на электрон, равна ( F = eE ), где ( e ) — заряд электрона (( e \approx 1.6 \times 10^{-19} \, \text{Кл} )), а ( E ) — напряженность электрического поля.

Напряженность электрического поля между пластинами рассчитывается по формуле:

[ E = \frac{U}{d} ]

Где ( U ) — напряжение, а ( d ) — расстояние между пластинами.

3. Ускорение электронов

Сила, действующая на электрон, приводит к его ускорению:

[ F = ma \implies a = \frac{F}{m} = \frac{eE}{m} ]

Где ( m ) — масса электрона (( m \approx 9.11 \times 10^{-31} \, \text{кг} )).

4. Изменение скорости электронов

Электрон начинает двигаться под действием электрического поля, и его скорость изменяется в течение времени ( t ):

[ \Delta v = a \cdot t ]

Подставим значение ускорения:

[ a = \frac{eE}{m} = \frac{eU/d}{m} ]

Теперь подставим все вместе:

[ \Delta v = \left(\frac{eU/d}{m}\right) t ]

5. Условие для того, чтобы электроны не вылетали

Электрон не должен получать достаточную скорость, чтобы покинуть конденсатор. То есть его конечная скорость не должна превышать начальную скорость:

[ \Delta v < v ]

Подставим:

[ \frac{eU}{md} \cdot t < v ]

Подставим известные значения:

[ \frac{(1.6 \times 10^{-19} \, \text{Кл}) \cdot U}{(9.11 \times 10^{-31} \, \text{кг}) \cdot (0.01 \, \text{м})} \cdot (1.25 \times 10^{-9} \, \text{с}) < 4 \times 10^7 \, \text{м/с} ]

6. Расчет напряжения

Решим неравенство для ( U ):

[ \frac{(1.6 \times 10^{-19}) \cdot U \cdot (1.25 \times 10^{-9})}{(9.11 \times 10^{-31}) \cdot (0.01)} < 4 \times 10^7 ]

Упростим выражение:

[ (1.6 \times 10^{-19}) \cdot U \cdot (1.25 \times 10^{-9}) < 4 \times 10^7 \cdot (9.11 \times 10^{-31}) \cdot (0.01) ]

Теперь подставим и решим для ( U ):

[ U < \frac{4 \times 10^7 \cdot (9.11 \times 10^{-31}) \cdot (0.01)}{(1.6 \times 10^{-19}) \cdot (1.25 \times 10^{-9})} ]

Проведем окончательные расчеты:

1. ( 4 \times 10^7 \cdot 9.11 \times 10^{-31} \cdot 0.01 \approx 3.644 \times 10^{-22} )
2. ( 1.6 \times 10^{-19} \cdot 1.25 \times 10^{-9} \approx 2.0 \times 10^{-28} )

Теперь делим:

[ U < \frac{3.644 \times 10^{-22}}{2.0 \times 10^{-28}} = 1.82 \times 10^6 \, \text{В} ]

Ответ

Таким образом, наименьшее напряжение, которое необходимо приложить к конденсатору, чтобы электроны не вылетали из него, составляет приблизительно ( 1.82 \times 10^6 \, \text{В} ) или ( 1.82 \, \text{МВ} ).

Для решения задачи воспользуемся законами классической механики и электродинамики.

Дано:

• Скорость электронов: ( v = 4 \cdot 10^7 \, \text{м/с} ),
• Длина конденсатора: ( L = 5 \, \text{см} = 0.05 \, \text{м} ),
• Расстояние между пластинами: ( d = 1 \, \text{см} = 0.01 \, \text{м} ),
• Заряд электрона: ( e = 1.6 \cdot 10^{-19} \, \text{Кл} ),
• Масса электрона: ( m = 9.1 \cdot 10^{-31} \, \text{кг} ).

Условие:

Электроны влетают в конденсатор параллельно его пластинам, на расстоянии от центра. Чтобы электроны не вылетели из конденсатора, их траектория должна быть искривлена электрическим полем конденсатора так, чтобы они не достигли пластин. Таким образом, отклонение электрона от прямолинейного движения (вдоль оси ( x )) не должно превышать расстояния ( \frac{d}{2} ) от центральной линии до пластины.

1. Найдем ускорение электрона в электрическом поле:

Электрическое поле между пластинами конденсатора определяется напряжением ( U ) и расстоянием ( d ) между пластинами: [ E = \frac{U}{d}. ]

Сила, действующая на электрон, равна: [ F = eE = e \cdot \frac{U}{d}. ]

Согласно второму закону Ньютона, ускорение электрона будет: [ a = \frac{F}{m} = \frac{e \cdot U}{m \cdot d}. ]

2. Движение электрона в электрическом поле:

Электрон движется с постоянной скоростью ( v ) вдоль ( x )-оси (параллельно пластинам). Под действием электрического поля он получает ускорение ( a ) вдоль ( y )-оси (перпендикулярно пластинам). Уравнение движения вдоль ( y )-оси описывается формулой: [ y = \frac{1}{2} a t^2, ] где ( t ) — время пролета электрона через конденсатор.

Время движения электрона через конденсатор можно найти, исходя из его скорости и длины конденсатора: [ t = \frac{L}{v}. ]

Подставляя ( t ) в выражение для ( y ): [ y = \frac{1}{2} a \left( \frac{L}{v} \right)^2. ]

Подставим выражение для ускорения ( a ): [ y = \frac{1}{2} \cdot \frac{e \cdot U}{m \cdot d} \cdot \left( \frac{L}{v} \right)^2. ]

3. Условие наименьшего напряжения:

Для того чтобы электрон не достиг пластины, максимальное отклонение ( y ) не должно превышать ( \frac{d}{2} ). То есть: [ \frac{1}{2} \cdot \frac{e \cdot U}{m \cdot d} \cdot \left( \frac{L}{v} \right)^2 \leq \frac{d}{2}. ]

Сократим на 2 и выразим ( U ): [ \frac{e \cdot U}{m \cdot d} \cdot \left( \frac{L}{v} \right)^2 = d. ]

[ U = \frac{m \cdot d^2 \cdot v^2}{e \cdot L^2}. ]

4. Подставим значения:

[ m = 9.1 \cdot 10^{-31} \, \text{кг}, \quad d = 0.01 \, \text{м}, \quad v = 4 \cdot 10^7 \, \text{м/с}, ] [ e = 1.6 \cdot 10^{-19} \, \text{Кл}, \quad L = 0.05 \, \text{м}. ]

[ U = \frac{(9.1 \cdot 10^{-31}) \cdot (0.01)^2 \cdot (4 \cdot 10^7)^2}{(1.6 \cdot 10^{-19}) \cdot (0.05)^2}. ]

Выполним вычисления поэтапно:

1. ( (0.01)^2 = 0.0001 ),
2. ( (4 \cdot 10^7)^2 = 16 \cdot 10^{14} ),
3. ( 0.0001 \cdot 16 \cdot 10^{14} = 1.6 \cdot 10^{12} ),
4. ( 9.1 \cdot 10^{-31} \cdot 1.6 \cdot 10^{12} = 1.456 \cdot 10^{-18} ),
5. ( (0.05)^2 = 0.0025 ),
6. ( 1.6 \cdot 10^{-19} \cdot 0.0025 = 4 \cdot 10^{-22} ),
7. ( U = \frac{1.456 \cdot 10^{-18}}{4 \cdot 10^{-22}} = 3.64 \cdot 10^3 \, \text{В} ).

Ответ:

Наименьшее напряжение, которое нужно приложить к конденсатору, чтобы электроны не вылетали, равно ( U = 3640 \, \text{В} ) или ( 3.64 \, \text{кВ} ).