1) Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 0,2 мкФ и катушки индуктивностью 8 мГн. Чему...

Для решения данных задач воспользуемся основными формулами для колебательного контура.

Задача 1

Дано:

• Емкость конденсатора $C=0.2\text{мкФ}=0.2\times {10}^{-6}\text{Ф}$.
• Индуктивность катушки $L=8\text{мГн}=8\times {10}^{-3}\text{Гн}$.
• Амплитуда силы тока $I_0=0.1\text{А}$.

Необходимо найти амплитуду колебаний напряжения $U_0$.

В колебательном контуре действует закон сохранения энергии:

$\frac{L{I}_0^2}{2}=\frac{C{U}_0^2}{2}$

Отсюда выразим амплитуду напряжения $U_0$:

$L{I}_0^2=C{U}_0^2$

$U_0=\sqrt{\frac{L}{C}}\cdot I_0$

Подставим значения:

$U_0=\sqrt{\frac{8\times {10}^{-3}}{0.2\times {10}^{-6}}}\times 0.1$

$U_0=\sqrt{4\times {10}^4}\times 0.1=200\text{В}$

Задача 2

Дано:

• Индуктивность катушки $L=5\text{мкГн}=5\times {10}^{-6}\text{Гн}$.
• Емкость изменяется от ( C{\text{min}} = 0.05 \, \text{мкФ} = 0.05 \times 10^{-6} \, \text{Ф} ) до ( C{\text{max}} = 5 \, \text{мкФ} = 5 \times 10^{-6} \, \text{Ф} ).

Необходимо определить диапазон изменения периода колебаний $T$.

Период колебаний в колебательном контуре определяется формулой:

$T=2\pi \sqrt{LC}$

Вычислим минимальный и максимальный период:

1. Минимальный период ( T{\text{min}} ) при максимальной емкости ( C{\text{max}} ):

$T_{\text{min}}=2\pi \sqrt{5\times {10}^{-6}\times 5\times {10}^{-6}}$

$T_{\text{min}}=2\pi \sqrt{25\times {10}^{-12}}=2\pi \times 5\times {10}^{-6}\approx 3.14\times 5\times {10}^{-6}\approx 15.7\times {10}^{-6}\text{с}$

1. Максимальный период ( T{\text{max}} ) при минимальной емкости ( C{\text{min}} ):

$T_{\text{max}}=2\pi \sqrt{5\times {10}^{-6}\times 0.05\times {10}^{-6}}$

$T_{\text{max}}=2\pi \sqrt{0.25\times {10}^{-12}}=2\pi \times 0.5\times {10}^{-6}\approx 3.14\times 0.5\times {10}^{-6}\approx 1.57\times {10}^{-6}\text{с}$

Таким образом, диапазон изменения периода колебаний составляет от $1.57\times {10}^{-6}\text{с}$ до $15.7\times {10}^{-6}\text{с}$.

1) Для нахождения амплитуды колебаний напряжения воспользуемся формулой для колебательного контура: $U=I\cdot X$, где $U$ - напряжение, $I$ - ток, $X$ - реактивное сопротивление.

Сначала найдем реактивное сопротивление: $X=\sqrt{X_L^2-\frac{1}{X_C^2}}=\sqrt{(2\pi fL{)}^2-\frac{1}{(2\pi fC{)}^2}}$, где $L$ - индуктивность, $C$ - емкость, $f$ - частота.

Подставляем известные значения: $X=\sqrt{(2\pi \cdot 50\cdot 8\cdot {10}^{-3}{)}^2-\frac{1}{(2\pi \cdot 50\cdot 0.2\cdot {10}^{-6}{)}^2}}\approx 90.4Ом$.

Теперь найдем амплитуду напряжения: $U=I\cdot X=0.1\cdot 90.4\approx 9.04В$.

Ответ: амплитуда колебаний напряжения равна 9.04 В.

2) Диапазон изменения периода колебаний определяется формулой: $T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{LC}$, где $T$ - период колебаний, $L$ - индуктивность, $C$ - емкость.

Минимальное значение периода будет при минимальной емкости и максимальной индуктивности, а максимальное значение периода - при максимальной емкости и минимальной индуктивности.

Подставляем значения: (T{min} = 2\pi\sqrt{5\cdot 10^{-6}\cdot 5\cdot 10^{-6}} = 2\pi\sqrt{25\cdot 10^{-12}} = 2\pi\cdot 5\cdot 10^{-6} = 0.0000314 \, с), (T{max} = 2\pi\sqrt{0.05\cdot 5} = 2\pi\sqrt{0.25} = 2\pi\cdot 0.5 = \pi \, с).

Ответ: диапазон изменения периода колебаний в колебательном контуре составляет от 0.0000314 до π секунд.

1) Амплитуда колебаний напряжения равна 2 В. 2) Диапазон изменения периода колебаний в колебательном контуре составляет от 0,1 до 10 мс.