1) Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 0,2 мкФ и катушки индуктивностью 8 мГн. Чему...

Для решения данных задач воспользуемся основными формулами для колебательного контура.

Задача 1

Дано:

• Емкость конденсатора ( C = 0.2 \, \text{мкФ} = 0.2 \times 10^{-6} \, \text{Ф} ).
• Индуктивность катушки ( L = 8 \, \text{мГн} = 8 \times 10^{-3} \, \text{Гн} ).
• Амплитуда силы тока ( I_0 = 0.1 \, \text{А} ).

Необходимо найти амплитуду колебаний напряжения ( U_0 ).

В колебательном контуре действует закон сохранения энергии:

[ \frac{L I_0^2}{2} = \frac{C U_0^2}{2} ]

Отсюда выразим амплитуду напряжения ( U_0 ):

[ L I_0^2 = C U_0^2 ]

[ U_0 = \sqrt{\frac{L}{C}} \cdot I_0 ]

Подставим значения:

[ U_0 = \sqrt{\frac{8 \times 10^{-3}}{0.2 \times 10^{-6}}} \times 0.1 ]

[ U_0 = \sqrt{4 \times 10^{4}} \times 0.1 = 200 \, \text{В} ]

Задача 2

Дано:

• Индуктивность катушки ( L = 5 \, \text{мкГн} = 5 \times 10^{-6} \, \text{Гн} ).
• Емкость изменяется от ( C{\text{min}} = 0.05 \, \text{мкФ} = 0.05 \times 10^{-6} \, \text{Ф} ) до ( C{\text{max}} = 5 \, \text{мкФ} = 5 \times 10^{-6} \, \text{Ф} ).

Необходимо определить диапазон изменения периода колебаний ( T ).

Период колебаний в колебательном контуре определяется формулой:

[ T = 2\pi \sqrt{LC} ]

Вычислим минимальный и максимальный период:

1. Минимальный период ( T{\text{min}} ) при максимальной емкости ( C{\text{max}} ):

[ T_{\text{min}} = 2\pi \sqrt{5 \times 10^{-6} \times 5 \times 10^{-6}} ]

[ T_{\text{min}} = 2\pi \sqrt{25 \times 10^{-12}} = 2\pi \times 5 \times 10^{-6} \approx 3.14 \times 5 \times 10^{-6} \approx 15.7 \times 10^{-6} \, \text{с} ]

1. Максимальный период ( T{\text{max}} ) при минимальной емкости ( C{\text{min}} ):

[ T_{\text{max}} = 2\pi \sqrt{5 \times 10^{-6} \times 0.05 \times 10^{-6}} ]

[ T_{\text{max}} = 2\pi \sqrt{0.25 \times 10^{-12}} = 2\pi \times 0.5 \times 10^{-6} \approx 3.14 \times 0.5 \times 10^{-6} \approx 1.57 \times 10^{-6} \, \text{с} ]

Таким образом, диапазон изменения периода колебаний составляет от ( 1.57 \times 10^{-6} \, \text{с} ) до ( 15.7 \times 10^{-6} \, \text{с} ).

1) Для нахождения амплитуды колебаний напряжения воспользуемся формулой для колебательного контура: (U = I \cdot X), где (U) - напряжение, (I) - ток, (X) - реактивное сопротивление.

Сначала найдем реактивное сопротивление: (X = \sqrt{X_L^2 - \frac{1}{X_C^2}} = \sqrt{(2\pi f L)^2 - \frac{1}{(2\pi f C)^2}}), где (L) - индуктивность, (C) - емкость, (f) - частота.

Подставляем известные значения: (X = \sqrt{(2\pi \cdot 50 \cdot 8 \cdot 10^{-3})^2 - \frac{1}{(2\pi \cdot 50 \cdot 0.2 \cdot 10^{-6})^2}} \approx 90.4 \, Ом).

Теперь найдем амплитуду напряжения: (U = I \cdot X = 0.1 \cdot 90.4 \approx 9.04 \, В).

Ответ: амплитуда колебаний напряжения равна 9.04 В.

2) Диапазон изменения периода колебаний определяется формулой: (T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{LC}), где (T) - период колебаний, (L) - индуктивность, (C) - емкость.

Минимальное значение периода будет при минимальной емкости и максимальной индуктивности, а максимальное значение периода - при максимальной емкости и минимальной индуктивности.

Подставляем значения: (T{min} = 2\pi\sqrt{5\cdot 10^{-6}\cdot 5\cdot 10^{-6}} = 2\pi\sqrt{25\cdot 10^{-12}} = 2\pi\cdot 5\cdot 10^{-6} = 0.0000314 \, с), (T{max} = 2\pi\sqrt{0.05\cdot 5} = 2\pi\sqrt{0.25} = 2\pi\cdot 0.5 = \pi \, с).

Ответ: диапазон изменения периода колебаний в колебательном контуре составляет от 0.0000314 до π секунд.

1) Амплитуда колебаний напряжения равна 2 В. 2) Диапазон изменения периода колебаний в колебательном контуре составляет от 0,1 до 10 мс.