1. Камень бросили с горизонтальной площадки под углом к горизонту так, что проекции начальной скорости...

1. Время полёта: 6 с Расстояние по горизонтали: 120 м

2. Время: 3 с Максимальная высота: 45 м

3. Время полёта: 2 с Расстояние по горизонтали: 20√3 м

4. Оба камня пролетят одинаковые расстояния.

Давайте разберем каждую из задач по порядку.

Задача 1

Дано:

• ( U_{ox} = 20 \, \text{м/с} )
• ( U_{oy} = 30 \, \text{м/с} )
• ( g = 9.8 \, \text{м/с}^2 )

Необходимо найти:

• Время полета ( t )
• Горизонтальное расстояние ( L )

Решение:

1. Время полета ( t ): Время полета определяется движением по вертикали. Камень будет двигаться вверх, пока его вертикальная скорость не станет нулевой, а затем начнет падать вниз. Время подъема и время спуска равны, поэтому полное время полета: [ t = \frac{2U_{oy}}{g} = \frac{2 \times 30}{9.8} \approx 6.12 \, \text{с} ]

2. Горизонтальное расстояние ( L ): Горизонтальное расстояние, которое пролетит камень, определяется горизонтальной скоростью и общим временем полета: [ L = U_{ox} \cdot t = 20 \times 6.12 \approx 122.4 \, \text{м} ]

Задача 2

Необходимо найти:

• Время подъема ( t_{\text{подъем}} )
• Максимальная высота ( H )

Решение:

1. Время подъема ( t_{\text{подъем}} ): Время подъема равно времени, за которое вертикальная скорость станет нулевой: [ t{\text{подъем}} = \frac{U{oy}}{g} = \frac{30}{9.8} \approx 3.06 \, \text{с} ]

2. Максимальная высота ( H ): Высота, на которую поднимется камень, определяется по формуле: [ H = U{oy} \cdot t{\text{подъем}} - \frac{1}{2}g \cdot t_{\text{подъем}}^2 ] [ H = 30 \cdot 3.06 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times (3.06)^2 \approx 45.9 \, \text{м} ]

Задача 3

Дано:

• ( U_0 = 20 \, \text{м/с} )
• ( \alpha = 30^\circ )

Необходимо найти:

• Время полета ( t )
• Горизонтальное расстояние ( L )

Решение:

1. Разложение скорости на компоненты: [ U_{ox} = U0 \cos \alpha = 20 \cdot \cos 30^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \, \text{м/с} ] [ U{oy} = U_0 \sin \alpha = 20 \cdot \sin 30^\circ = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10 \, \text{м/с} ]

2. Время полета ( t ): [ t = \frac{2U_{oy}}{g} = \frac{2 \times 10}{9.8} \approx 2.04 \, \text{с} ]

3. Горизонтальное расстояние ( L ): [ L = U_{ox} \cdot t = 10\sqrt{3} \times 2.04 \approx 20\sqrt{3} \, \text{м} ]

Задача 4

Дано:

• ( \alpha_1 = 30^\circ )
• ( \alpha_2 = 60^\circ )
• Начальная скорость одинаковая

Необходимо определить, какой из камней пролетит большее расстояние по горизонтали.

Решение:

Для углов ( \alpha_1 = 30^\circ ) и ( \alpha_2 = 60^\circ ), горизонтальное расстояние определяется формулой: [ R = \frac{U_0^2 \sin(2\alpha)}{g} ]

Для обоих углов ( \sin(2\alpha) = \sin 60^\circ = \sin 120^\circ ), следовательно, оба камня пролетят одинаковое расстояние.

1. Для определения времени полёта камня можно воспользоваться уравнением движения по вертикали: y = Uyt - (gt^2)/2, где y - высота падения камня (0), Uy - вертикальная составляющая начальной скорости (Usinα), g - ускорение свободного падения (9,8 м/с^2). Подставив известные значения, получаем 0 = 30sinαt - (9,8t^2)/2. Решив квадратное уравнение, найдем t = 3 секунды.

Для определения расстояния L по горизонтали можно воспользоваться формулой L = Uxt, где Ux - горизонтальная составляющая начальной скорости (Ucosα). Подставив известные значения, получаем L = 20*3 = 60 метров.

1. Максимальная высота подъёма камня достигается в тот момент, когда вертикальная составляющая скорости равна нулю. Таким образом, время подъёма равно времени полёта, т.е. 3 секунды. Максимальная высота подъёма определяется по формуле h = Uy^2/(2g), где Uy - вертикальная составляющая начальной скорости (30sinα). Подставив известные значения, получаем h = (30sinα)^2/(29,8) = 45 метров.

2. Для определения времени полёта и расстояния L по горизонтали можно воспользоваться теми же формулами, что и в первой задаче, но с учётом новых значений начальной скорости и угла α. Решив уравнения, получаем время полёта 2 секунды и расстояние по горизонтали 20√3 метров.

3. При броске двух камней с одинаковой начальной скоростью, но под разными углами, время полёта и расстояние полёта по горизонтали будут одинаковыми. Таким образом, оба камня пролетят одинаковые расстояния от точки бросания до точки падения.